シェルソートアルゴリズムの分析(ビッグO)

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rabaya 2020-03-04 04:55.

これはシェルソートアルゴリズムです。

  void shellSort(int array[], int n){
    for (int gap = n/2; gap > 0; gap /= 2){
        for (int i = gap; i < n; i += 1) {
           int temp = array[i];
           int j;

           for (j = i; j >= gap && array[j - gap] > temp; j -= gap){
              array[j] = array[j - gap];
           }
           array[j] = temp;
        }
      }
  }

このアルゴリズムの外側のループはlogn回実行されると確信していますが、中央のループと最も内側のループについてはよくわかりません。このサイトhttps://stackabuse.com/shell-sort-in-java/真ん中のループはn-gap回実行され、最も内側のループはi / gapを実行すると言われましたが、それについてはよくわかりません。このアルゴリズムで真ん中と最も内側のループがどのように実行されるかを理解するのを手伝ってください。これを手伝ってくれた人に感謝します。

3 answers

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Alex 2020-03-04 05:42.

アルゴリズムのループは次のとおりです。

for (int gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) {
  for (int i = gap; i < n; i += 1) {
    for (j = i; j >= gap && array[j - gap] > temp; j -= gap) {
    }
  }
}

ループオーバーから始めましょうi。で始まり、1の増分でgap進みnます。次のループオーバーjは現在iで始まりgapgap。より小さくなるまで減少します。以上ので、ループjのための実行一度iの間gap2*gap、二回のためのi2*gap3*gap、のために3時間iの間3*gap4*gapし、上のようにします。

ことを意味することにjループが一回実行されるgapの異なる値iのために二回、gapの異なる値iのために、3回gapの異なる値iなど、

の最大値inであるため、ループオーバーjは最大j_max = (n - gap)/gap時間で実行できます。jループの実行の総数は

1+1+...+1+1 + 2+2+...+2+2 + 3+3+...+3+3 + .... + j_max+j_max+...+j_max+j_max
|_________|   |_________|   |_________|          |_________________________|
 gap times     gap times     gap times                    gap times 

この合計はに等しい

gap*(sum from 1 to j_max) = gap * j_max(j_max + 1) / 2 = O(gap * ((n-gap)/gap)^2) = O((n-gap)^2/gap)

これはgap、外側のループののさまざまな値に対して繰り返されるため、複雑さはO-bigです。

sum((n-gap)^2/gap, for gap = n/2, n/4, n/8, ...., 4, 2, 1)

拡大する:

(n^2 - 2*n*gap + gap^2)/gap = n^2*(1/gap) - 2*n + gap

最初の項は、n2乗に次の値を掛けたものに等しくなります。

1/(n/2),  1/(n/4),  1/(n/8), ..... 1/4,  1/2, 1/1

または

2/n, 4/n, 8/n, ....., n/n

これは2の累乗の合計をで割ったものなnので、最初の項は合計で

n^2/n * 2^(log2 n) = n^2

第2項は-2*n合計log2 n時間であるため、複雑さは

n*log2 n

最後の項はの合計でgapsあるため、2の累乗の合計であり、その複雑さはnです。すべてを組み合わせると、最悪の場合の複雑さがO(n ^ 2)として得られます。

1
midhun mathew 2020-03-04 05:30.

各反復で、中央のループはギャップで始まり、nで終わります。したがって、反復の総数はnになります-ギャップ

内側のギャップはiから始まります。各反復で、ギャップによって減少します。i = 15およびgap = 3とすると、後続の反復でのjの値は15,12,9,6,3になります。これは5回の繰り返しです。したがって、最悪の場合、i / gapの反復。

1
MT756 2020-03-04 05:32.

等差数列の項数を求める式は、(最後の項-最初の項)/差+1です。

for (int i = gap; i < n; i += 1)i =ギャップで開始し、i == nで終了します。私が取ることができる最後の値はn-1です。

すべてのループ、iは1ずつインクリメントされるため、このループが実行されます(n --1-ギャップ)/ 1 + 1 = n-ギャップ時間

for (j = i; j >= gap && array[j - gap] > temp; j -= gap)

このループはj = 1で始まり、j <ギャップで終了します(最悪の場合のシナリオを想定して2番目の部分を無視します)。jが取ることができる最後の値はギャップです。

すべてのループ、jはギャップによってデクリメントされるため、このループが実行されます(i-ギャップ)/ギャップ+ 1 = i

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