FFTをPythonの正弦波のセットとしてプロットしますか?

3
Legit Stack 2020-01-14 00:12.

誰かがプレゼンテーションでこれをしているのを見ましたが、彼ができたことを再現するのに苦労しています。これが彼のプレゼンテーションのスライドです。

かなりクール。彼はFFTを使用してデータセットを分解し、FFTが指定した適切な正弦波をプロットしました。

そこで、彼がしたことを再現するために、2つの正弦波の組み合わせに対応する一連のポイントを作成しました。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline

x = np.arange(0, 10, 0.01)
x2 = np.arange(0, 20, 0.02)
sin1 = np.sin(x)
sin2 = np.sin(x2)
x2 /= 2
sin3 = sin1 + sin2
plt.plot(x, sin3)
plt.show()

ここで、この波(または、ポイントが意味する波)を元の2つの正弦波に分解します。

# goal: sin3 -> sin1, sin2
# sin3 
array([ 0.00000000e+00,  2.99985000e-02,  ... 3.68998236e-01])
# sin1 
array([ 0.        ,  0.00999983,  0.01999867,  ... -0.53560333])
# sin2 
array([ 0.        ,  0.01999867,  0.03998933, ... 0.90460157])

私は、インポートして起動numpyし、取得fftsin3

import numpy as np
fft3 = np.fft.fft(sin3)

わかりました、それは私が得る限りです。これで、複素数の配列ができました。

array([ 2.13316069e+02+0.00000000e+00j,  3.36520138e+02+4.05677438e+01j,...])

そして、私がそれを素朴にプロットすると、私は見る:

plt.plot(fft3)
plt.show()

わかりました、それをどうするかわかりません。

ここから、sin1とsin2のようなデータセットに移動したいと思います。

plt.plot(sin1)
plt.show()

plt.plot(sin2)
plt.show()

fft3データセット内の複素数の実数部と虚数部を理解していますがsin1sin2そこから派生してデータセットを取得するためにそれらをどう処理するかがわかりません。

これはプログラミングとは関係がなく、数学と関係があることは知っていますが、誰かがここでヒントを教えてくれますか?

編集:マークスナイダーの答えを更新:

マークのコードを使用して、私は期待したものを得ることができ、この方法で終わりました:

def decompose_fft(data: list, threshold: float = 0.0):
    fft3 = np.fft.fft(data)
    x = np.arange(0, 10, 10 / len(data))
    freqs = np.fft.fftfreq(len(x), .01)
    recomb = np.zeros((len(x),))
    for i in range(len(fft3)):
        if abs(fft3[i]) / len(x) > threshold:
            sinewave = (
                1 
                / len(x) 
                * (
                    fft3[i].real 
                    * np.cos(freqs[i] * 2 * np.pi * x) 
                    - fft3[i].imag 
                    * np.sin(freqs[i] * 2 * np.pi * x)))
            recomb += sinewave
            plt.plot(x, sinewave)
    plt.show()

    plt.plot(x, recomb, x, data)
    plt.show()

後で、再結合されたウェーブのリストを返すようにしますが、今のところ、私にはよくわからない異常が発生しています。まず、データセットを渡すだけで、このように呼びます。

decompose_fft(sin3, threshold=0.0)

しかし、見た目は素晴らしいですが、私はこの奇妙な線を取得しy=0.2ますこれが何であるか、または何が原因であるかを誰かが知っていますか?

編集:

上記の質問はコメントでマークによって答えられました、ありがとう!

2 answers

1
Mark Snyder 2020-01-14 07:47.

離散フーリエ変換は、合計すると元の離散信号を生成する複素指数の係数を提供します。特に、k番目のフーリエ係数は、指定された数のサンプルにわたってkサイクルを持つ正弦波の振幅に関する情報を提供します。

サインには1000サンプルのサイクル数が整数ではないため、実際にはFFTを使用して元のサイン波を取得することはできません。代わりに、〜.4の定数成分を含む、多くの異なる正弦波のブレンドを取得します。

次のコードを使用して、さまざまなコンポーネントの正弦波をプロットし、それらの合計が元の信号であることを確認できます。

freqs = np.fft.fftfreq(len(x),.01)
threshold = 0.0
recomb = np.zeros((len(x),))
for i in range(len(fft3)):
    if abs(fft3[i])/(len(x)) > threshold:
        recomb += 1/(len(x))*(fft3[i].real*np.cos(freqs[i]*2*np.pi*x)-fft3[i].imag*np.sin(freqs[i]*2*np.pi*x))
        plt.plot(x,1/(len(x))*(fft3[i].real*np.cos(freqs[i]*2*np.pi*x)-fft3[i].imag*np.sin(freqs[i]*2*np.pi*x)))
plt.show()

plt.plot(x,recomb,x,sin3)
plt.show()

を変更することによりthreshold、低電力の正弦波を除外して、それが最終的な再構成にどのように影響するかを確認することもできます。

編集:それは間違いではありませんが、上記のコードには少し罠があります。これは、実際の信号に対するDFTの固有の対称性を隠し、各正弦波を真の振幅の半分で2回プロットします。このコードはパフォーマンスが高く、正弦波を正しい振幅でプロットします。

freqs = np.fft.fftfreq(len(x),.01)
threshold = 0.0
recomb = np.zeros((len(x),))
middle = len(x)//2 + 1
for i in range(middle):
    if abs(fft3[i])/(len(x)) > threshold:
        if i == 0:
            coeff = 2
        else:
            coeff = 1
        sinusoid = 1/(len(x)*coeff/2)*(abs(fft3[i])*np.cos(freqs[i]*2*np.pi*x+cmath.phase(fft3[i])))
        recomb += sinusoid
        plt.plot(x,sinusoid)
plt.show()

plt.plot(x,recomb,x,sin3)
plt.show()

一般的なケースで、信号が信号の長さと正しく一致しない可能性のある周波数を持つ正弦波のサブセットで構成されていることがわかっている場合は、信号をゼロパディングまたは拡張することで周波数を識別できる場合があります。詳細については、こちらをご覧ください。信号が完全に任意であり、コンポーネントの正弦波を調べることに関心がある場合は、その必要はありません。

3
Miłosz Wieczór 2020-01-14 07:43.

離散フーリエ変換にはいくつかの問題がありますが、その連続的な対応物で遊んでもすぐにはわかりません。1つには、入力の周期性がデータの範囲と一致する必要があるため、次を使用するとはるかに簡単になります。

x = np.linspace(0, 4*np.pi, 200)

その後、元のアイデアに従うことができます。

sin1 = np.sin(x)
sin2 = np.sin(2*x)
sin3 = sin1 + sin2
fft3 = np.fft.fft(sin3)

FFTsinでは虚数成分に直接入るため、虚数部のみをプ​​ロットしてみることができます。

plt.plot(fft3.imag)
plt.show()

表示されるのは、元の正弦波成分を中心としx=2x=4それに対応するピークです。これらの周波数は、「信号ごとに2」(sin(x)は0〜4 pi)および「信号ごとに4」(sin(2x) 0〜4 pi)。

すべての個々のコンポーネントをプロットするには、次のようにします。

for i in range(1,100):
  plt.plot(x, fft3.imag[i] * np.sin(i*x)/100)
plt.show()

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