極限法則と微分法則の証明は、そもそも極限が存在することを暗黙のうちに想定しているように見える

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Joe 2021-01-09 12:59.

の派生物を見つけようとしていたとしましょう $x^2$第一原理からの差別化を使用します。通常の引数は次のようになります。

場合 $f(x)=x^2$、その後 \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} なので $h$ アプローチ $0$$2x+h$ アプローチ $2x$、 そう $f'(x)=2x$

この議論を通して、私は次のように仮定しました $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$実際には意味のあるオブジェクトでした—制限が実際に存在したということです。私はこの仮定を正当化するものが本当に理解していません。私にとって、オブジェクトが明確に定義されているという仮定は、誤った結論を導き出す可能性があります。たとえば、$\log(0)$ 理にかなっている、私たちはそれを結論付けることができます $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$だから、仮定こと$\log(0)$ 意味のあるものを表すと、それは等しいと誤って結論付けられました $0$。多くの場合、制限が存在することを証明するために、使い慣れた形式で記述できるようになるまで制限を操作します。これは、連鎖律と積の法則の証明に見ることができます。しかし、そもそも制限が存在することがわかっている場合にのみ、操作を正当化できるように思われることがよくあります。では、ここで実際に何が起こっているのでしょうか。


別の例として、連鎖律はしばしば次のように述べられます。

仮定 $g$ で微分可能です $x$、および $f$ で微分可能です $g(x)$。次に、$(f \circ g)$ で微分可能です $x$および$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$

その証拠なら $(f \circ g)$ で微分可能です $x$単に限界定義を使用して導関数を計算することになりますが、やはり不満を感じます。この計算は、再び次のような仮定をしませんか?$(f \circ g)'(x)$ そもそも理にかなっていますか?

10 answers

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twosigma 2021-01-10 04:19.

命題$c \in \mathbb{R}$。仮定します$f$ そして $g$ いくつかのパンクしたオープンボールで定義され、互いに等しい $(c - \delta) \cup (c + \delta)$$c$、 どこ $\delta > 0$。その後、$\lim_{x \to c} f(x)$ 存在する場合にのみ存在する $\lim_{x \to c} g(x)$存在します。そして、どちらかの制限が存在する場合、もう一方も存在し、それらは両方とも等しいです。

証明のスケッチ:ある点での限界の定義に注意してください$c$ に近いポイントのみに関係します $c$ しかし等しくない $c$。だからどんな価値でも$f$ または $g$$c$、またはそのことについては、それらがそこで定義されているかどうかは関係ありません。以来$f$ そして $g$ に近いポイントで等しい $c$ しかし等しくない $c$、いずれかの関数に関する制限ステートメント $c$ したがって、他の人にも当てはまる必要があります。 $\square$

これは、あなたが示したものなど、私たちが頻繁に行うさまざまな制限計算を正当化します。実際、例を段階的に見ていきましょう。

場合 $f(x)=x^2$、その後 \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} なので $h$ アプローチ $0$$2x+h$ アプローチ $2x$、 そう $f'(x)=2x$

これらの一連の計算は、実際には何を意味または意味しますか?さて、最後のステップ/等式で、私たちは計算しました$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$、これは存在し、等しいことに同意します $2x$。機能以来$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ 等しい $2x + h$ のいくつかのパンクした近所で $0$、命題を使用して、次のように結論付けることができます。 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ 等しい $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$、これは $2x$。したがって、行(3)から行(2)に移動することは正当化されます。次に、関数$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ 等しい $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ のいくつかのパンクした近所で $0$したがって、この命題を使用して、行(2)から行(1)に移動することを正当化できます。

ですから、私たちはある種の逆説を持っていますが、実際には、これは通常の限界計算では必要ありません。私たちの推論は、制限が存在しない場合でも「機能」します。最後に存在する制限に到達した場合、必然的に逆方向に作業して、最初の最初の制限が存在することを保証できます。そして、最後に存在しない制限に到達した場合、必然的に最初の最初の制限は存在できません。そうでない場合、命題によって保証された一連の同等性を下げて、最終的な制限が存在することを保証できます。

したがって、すべての場合において、物事は「うまくいく」。注意すべき重要なことは、各ステップに特定の論理的等価性があるということです。制限は、前または後のステップに存在する場合にのみ、あるステップに存在します。

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Elliot G 2021-01-09 13:18.

あなたはそれが書くことは本当に意味がないということは正しいです $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$制限が存在することをすでに知っていない限り、それは実際には単なる文法の問題です。正確には、最初に差分商を書き直すことができると言うことができます$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$、そしてその事実を使用します $\lim\limits_{h\to 0}x=x$ そして $\lim\limits_{h\to 0}h=0$ 定数倍の法則と極限の和法則も同様です。

最後の文に追加:制限のよく知られたプロパティのほとんどは、このように「逆方向」に書かれています。つまり、「限界和法」は言う$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ 限り $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ そして $\lim\limits_{x\to c}g(x)$存在します。もちろん、それらが存在しない場合、今書いた方程式は無意味なので、実際にはその主張から始める必要があります。

実際には、単語数を節約する以外の理由がなければ、通常、ここでは少しカジュアルにすることができます。ただし、イントロ分析クラスでは、合理的にできる限り注意する必要があります。

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Andrea Marino 2021-01-09 13:38.

他の答えはまったく問題ありません。制限の存在が実際に重要なポイントである状況であなたの一日を救うことができる単なる視点。

重要な定義は、limsupとliminfのいずれかです。これらは常に明確に定義されており、現時点で知っておく必要があるのは、次の2つのプロパティだけです。

  1. $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
  2. の限界 $f$ 存在する場合にのみ存在する $\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $、この場合、制限はこの値と一致します。

ここで、計算を2回行うと想像してください。最初に、liminfを計算します。次に、limsupを計算します。どちらの計算でも、実際に制限があるものに到達するとすぐに($2x+h$)、プロパティ(2)があるため、inf / supストーリーを忘れて、制限を計算するだけです。

いくつかの操作で実際に制限があるものに到達するため、両方の計算で同じ結果が得られます。また、プロパティ(2)により、制限が存在し、計算した値と一致します。

入門分析を行っていて、liminfとlimsupがわからない場合、これは実際には行うべきことではありません。これら2つの形式プロパティは、limの形式プロパティとわずかに異なり、エラーが発生する可能性があります。しかし、制限に「触れない」限り、imit内で何らかの操作を行うだけで、同じ議論が続きます。明確に定義された結果が得られた場合、それが制限です:)

5
Dark 2021-01-10 08:54.

ここにあるものは、実際には複数のステートメントとして解釈する必要があります。

(1.) $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ 存在する $ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ 存在し、等しい $\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $

(2.) $ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ 存在する $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ 存在し、等しい $\lim_{h \to 0} [2x + h]$

(3.) $ \lim_{h \to 0} 2x$ 存在する $ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ 存在し、等しい $ \lim_{h \to 0} 2x$

(4.) $ \lim_{h \to 0} 2x$ 存在し、等しい $ 2x $

(4.)を取得すると、(3。)の「if」(条件付き)部分が満たされ、(1。)まで続きます。ステートメント1から3に制限が存在すると仮定することは、実際に存在することを証明するためにその仮定を使用したことがないため、問題ではないことがわかります。それは循環論法であり、良くありません。

ログの例は、上記のステートメント(4.)の役割を果たすステートメントがないという点でこれとは異なります。これにより、条件をエスケープできます。あなたはそれを証明しただけです$\log(0) = 0$ IF $\log(0)$ 存在する、それではない $\log(0)$存在します!これ自体は間違った結論ではありません。

4
user21820 2021-01-09 23:24.

より正確にしたい場合は、次のように書くことができます。

$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ 制限が存在する場合

    $= \lim_{h→0} (2x+h)$ 制限が存在する場合

    $= 2x$

各行が「制限が存在する場合」のみ保持されることを意味します。しかし、ほとんどの場合、次の2つの理由から、実際にわざわざそうする必要はありません。

  1. 通常、そのような条件を精神的に追加し、制限の存在に依存していないことを確認するのは簡単です。

  2. 式が「未定義の値」に到達することを許可し、「未定義」の部分式を持つすべての式自体​​が未定義であると定義する場合、「制限が存在する場合」という条件を記述する必要さえありません。制限が定義されていない場合は、「$\lim \cdots$「式は単に「未定義」の値を持ち、誤った結論につながることはありません

2
Michael Hardy 2021-01-10 09:37.

差分商の限界が存在しない限り、導関数は存在しません。

2つの関数の合計の制限が2つの別々の制限の合計に等しいという「制限法則」は、2つの別々の制限が存在しない限り適用されません。そのことに注意してください

  • 2つの別々の制限が存在し、合計の制限が存在しない場合はありません。2つの別々の制限が存在する場合、合計の制限も存在します。

  • ただし、2つの別々の制限が存在せず、合計の制限が存在する場合があります。最近ここに投稿したもので、合計ではなく製品に適用される同様の状況が発生しました(現在は見つかりません)。2つの要因のうちの1つについては制限が存在しませんでしたが、関数は制限されていたため、製品の制限を絞ることで見つけることができました。

1
leftaroundabout 2021-01-10 16:10.

考えれば、この問題はほとんどなくなります。 $\lim$ そして $\log$部分関数として明示的に。部分関数は、終域に1つの余分な(識別可能な!)要素、基本的には「エラー値」が含まれている関数と見なすことができます。$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$ たとえば、 $$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$

さて、対数の法則 $$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$ 「持ち上げられた」と理解されるべきです $+$演算子、それはどちらかの側で失敗を渡すだけです。しかし、それは、この演算子については、から推測できないことを意味します$p+q=p$ それ $q=0$、なぜなら $\text{ERR}+q$、常に $\text{ERR}$関係なく!代わりに、$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$ 推測できます $q = \text{OK}(0)$。したがって、私たちについて間違った結論に達することはありません$\log(0)$、それはではないので $\text{OK}$ 値。

差別化の限界に適用すると、すぐに書くことができます$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$ 結果が $\text{ERR}$。また、問題なく実行できるのは、制限内の式を関数として次のように書き直すことです。$h\mapsto\ldots$–実際には(拡張的に)同じです。これは特に問題ありません$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$ なぜなら $h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ そして $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ 本当にすべて同じです $h\in\mathbb{R}$。それでも、現時点では、どちらかの制限が実際に存在するかどうかはわかりません。両方の制限がある可能性があります。$\text{ERR}$、 または両方 $\text{OK}$、しかしとにかく等しい。

次のステップでは、制限がその引数を定義域としてゼロ以外の数を持つ関数のみと見なすという事実が必要です。これは、その定義域の関数としてのみ考慮されるためです。 $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ と同じ機能 $h\mapsto 2\cdot x+h$

そしてそれはそれです、この時点で私たちは限界が確かにあることを読むことができます $\text{OK}(2\cdot x)$ 戻ってみると、他の制限もあったに違いないことがわかります $\text{OK}$ 同じ値で。

1
steven gregory 2021-01-11 12:50.

ご了承ください $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ で未定義です $h=0$ そしてそれは $h \ne 0$

$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$

ただし、機能 $:x \mapsto 2x+h$ 定義され、連続的で、値は $2x$$h=0$

私たちも使用する必要があります

$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$

残りは続きます。

0
BirdSetFree7 2021-01-09 13:21.

最後のステップの前の最初の引数で制限のプロパティが使用されなかったため、実際には制限内で行ったことは単に書き直しであり、最後のステップに到達すると、明らかに処理するイプシロンデルタ定義を使用して存在を示すことができます。存在の問題、最後のステップの前の証明のすべてのものはただ書き直しであり、イプシロンデルタ定義が存在の問題を扱っているので正当化される限界の特性を使用する最後のステップなので、同じことが連鎖律のものにも当てはまります、これを願っています助けます

0
Vercassivelaunos 2021-01-09 13:16.

完全に明確にしたい場合、導関数の引数は次のようになります。 $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ そして $\lim\limits_{h\to0}2x+h$両方が存在し、少なくとも1つが存在する場合にのみ、等しくなります。以来$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ 実際に存在し、 $2x$、他の制限も必要です(それは $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$)存在し、 $2x$

これは、対数の例では機能しません。次のように主張できます。 $\log0$ そして $\log0+\log0$存在し、2つのうち少なくとも1つが存在する場合は同じです。しかし、どちらも存在しないので、要点は議論の余地があります。

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