の可能な最大値はいくつですか $E[X_1 X_2 X_3]$?

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MathIsNice1729 2020-12-16 05:26.

仮定する $X_1,X_2,X_3$ 共通の確率空間で定義された離散ランダム変数です $\Omega$ と値を取る $\{-1,1\}$。さらに、$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$。これを考えると、の可能な最大値は何ですか$E[X_1 X_2 X_3]$

それは簡単にわかります $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ それぞれについて $i,j \in I_3 (i \neq j)$。しかし、どうすればさらに進歩できますか?どんな助けでもいただければ幸いです。

2 answers

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leonbloy 2020-12-16 05:46.

しましょう $a=E[X_1 X_2 X_3]$

もちろんあります $-1 \le a \le 1$

このパラメーター化に続いて、同時確率を次のように書くことができます。

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ 追加の制限を与える $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ または $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ そして $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

しかし、これは最大の元の候補によって検証されます($a=1$

したがって、最大値は $E[X_1 X_2 X_3]=1$ これはによって達成されます

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

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fesman 2020-12-16 05:50.

それぞれ確率のある4つの状態があるとします $1 \over 4$$(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$

条件が合っていることを確認できます。しかしながら、

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

これは明らかに、この式がとることができる最高の値です。

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