場合 $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ そして $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ いくつかのための $\alpha \in \Phi$。

2
user2345678 2020-11-16 11:46.

これは、リー代数に関するハンフリーズの本の演習10.10です。

しましょう $\Phi$ ユークリッド空間にある根系である $E$ そしてしましょう $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ の基礎となる $\Phi$。しましょう$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ にもかかわらず $k_i\geq 0$ またはすべて $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ どちらかを証明する $\lambda$ ルートの倍数(おそらく0)であるか、存在します $\sigma \in \mathscr W$ (ワイル群)そのような $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ 一部で $k_i'>0$ いくつかの $k_i'<0$

彼は次のヒントを与えます: $\lambda$ ルートの倍数ではない場合、超平面 $P_\lambda$ に直交する $\lambda$ に含まれていません $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$。取る$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ そして見つけます $\sigma \in \mathscr W$ そのすべてのために $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$

私はそれを証明できませんでし$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$、私は次のように演習を終えることができましたが。そのようなものを取る$\mu$、のすべてのポイントから $E$ です $\mathscr W$-基本的なワイルチャンバー内のポイントに結合し、存在します $\sigma \in \mathscr W$ 満足 $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$主張されているように。特に、それぞれ$\sigma \alpha_i \in \Phi$、だから私たちは書くかもしれません $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ 一部の(おそらく新しい)整数の場合 $k_i'$。さて、$\mu \in P_\lambda$、 そう

$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ いくつかのことを意味します $k_i'>0$ いくつかの $k_i'<0$、用語として $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ すべてポジティブです。

問題はその後です:それを証明する方法$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$?私がこれまでに行ったすべての計算は役に立たなかった、のようなもの$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$何も意味することはできません。私も簡単に始めようとしました $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ supposigによって $\lambda - c\alpha\neq 0$ そして $P_\lambda \subseteq P_\alpha$、しかしそれはただのyelds $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$

何か助けはありますか?ありがとうございました。

1 answers

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Torsten Schoeneberg 2020-11-17 02:09.

補題:もし$H, H_1, ... H_r$ 超平面です(すなわち $(n-1)$-次元部分空間)いくつかの $n$-無限体上の次元空間、および $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$、その後 $H = H_j$ いくつかのための $1 \le j \le r$

証明:仮定により、

$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$

これで、任意の2つの超平面の交点に次元があります $n-2$2つの超平面が等しくない限り。しかし、RHSのユニオン内のすべてのスペースが$(n-2)$-次元、彼らの結合 https://iquestion.pro/q/ma13058496/fyi-rudo-no-baai-f-sono-yona-mono-desu-left-f-right-n-1-naze-desu-ka-v-jo-noLHSで。QED。


これを問題に適用するには: $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$、そして見出語によって根があります $\alpha$ そのような $P_\lambda = P_\alpha$、結果として $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$、すなわち $\lambda$ のスカラー倍です $\alpha$

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