指数を使用した繰り返しシーケンス

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Violetta Blejder 2020-11-10 15:13.

繰り返しシーケンスを操作して関数を生成すると、一般的に次の一般的な式を解くのに迷います。 $a_n$ のために $n$ シーケンスの次の部分、つまり $a_{n+1}$は、次のような指数の形式です。 $a_n = a_{n-1} +k^{n-1}$、ここで、kは定数です。この問題にどのように取り組むかについての手がかりはありません。

前の2つの項を減算し、シーケンスをシフトすることでフィボナッチ数列を解きましたが、ここでは機能しないようです。

私は特に一緒に働いています $a_n = 2a_{n-1} + 5^{n-1}$、しかし、シーケンスは非常に速く拡張します。ベースケース、$a_{0} = 1$

どんな助けでもいただければ幸いです!

4 answers

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Hendrix 2020-11-10 15:38.

通常の母関数を使用します。しましょう$A(x) = \sum_{i=0}^n a_n x^n$。次に、($n=1$

\ begin {align} a_n&= 2a_ {n-1} + 5 ^ {n-1}、\\ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nx ^ n&= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2a_ {n-1} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ n、\\ A(x)-a_0&= 2x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n-1} x ^ {n-1} + x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ {n-1}、\\ A(x)-1 &= 2x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n} x ^ {n} + x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 5 ^ {n} x ^ {n}、\\ A(x )-1&= 2xA(x)+ \ frac {x} {1-5x}、\\ A(x)-2xA(x)&= \ frac {x} {1-5x} + 1、\\ A (x)&= \ frac {x} {(1-2x)(1-5x)} + \ frac {1} {1-2x}。\\\ end {align} ここで、部分分数分解とビットを使用します取得する代数の

\ begin {align} A(x)&= \ frac {1} {3(1-5x)}-\ frac {1} {3(1-2x)} + \ frac {1} {1-2x} \ \&= \ frac {1} {3} \ left(\ frac {1} {(1-5x)} + \ frac {2} {(1-2x)} \ right)\\&= \ frac {1 } {3} \ left(\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 5 ^ nx ^ n + 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ nx ^ n \ right)。\ end {align}

ここから見る $$a_n = \frac{5^n + 2^{n+1}}{3}.$$

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Brian M. Scott 2020-11-10 15:35.

現在作業しているのは一次であるため、単純に「巻き戻す」ことができます。

$$\begin{align*} a_n&=2a_{n-1}+5^{n-1}\\ &=2\left(2a_{n-2}+5^{n-2}\right)+5^{n-1}\\ &=2^2a_{n-2}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^2\left(2a_{n-3}+5^{n-3}\right)+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^3a_{n-3}+2^2\cdot5^{n-3}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=2^na_0+5^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i\\ &=2^na_0+5^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac25\right)^n}{1-\frac25}\\ &=2^na_0+\frac{5^n-2^n}3 \end{align*}$$

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marty cohen 2020-11-10 16:14.

私は望遠鏡が大好きです。

場合 $a_n = ua_{n-1} + vc^{n} $、その後 $\dfrac{a_n}{u^n} = \dfrac{a_{n-1}}{u^{n-1}} + v(c/u)^{n} $

しましょう $b_n = \dfrac{a_n}{u^n}$。次に $b_n =b_{n-1}+vd^n $ どこ $d = c/u$

次に $b_n-b_{n-1} =vd^n $

合計、

$\begin{array}\\ b_m-b_0 &=\sum_{n=1}^m (b_n-b_{n-1})\\ &=\sum_{n=1}^m vd^n\\ &=v\dfrac{d-d^{m+1}}{1-d}\\ &=vd\dfrac{1-d^{m}}{1-d}\\ \end{array} $

そう

$\begin{array}\\ \dfrac{a_m}{u^m} &=a_0+vd\dfrac{1-d^m}{1-d}\\ \text{or}\\ a_m &=a_0u^m+\dfrac{vc}{u}u^m\dfrac{1-(c/u)^m}{1-c/u}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ \end{array} $

この場合、 $u=2, c=5, v = \frac15, a_0 = 1 $ そう $a_m = 2^m + \dfrac{2^m-5^m}{2-5} = 2^m + \dfrac{5^m-2^m}{3} $

これは次のように書き直すことができます

$\begin{array}\\ a_m &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=\dfrac{(u-c)a_0u^m+vc(u^m-c^m)}{u-c}\\ &=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c}\\ \end{array} $

繰り返しますが、 $=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c} =\dfrac{(-3+1)2^m-5^{m}}{-3} =\dfrac{2\cdot 2^m+5^{m}}{3} $

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Neat Math 2020-11-10 16:39.

まず均質にします。

$$a_n-2a_{n-1} = 5^{n-1} $$ $$a_{n+1}-2a_n = 5^n $$ $$\Rightarrow a_{n+1}-2a_n=5(a_n-2a_{n-1}) \tag 1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}-5a_n=2(a_n-5a_{n-1}) \tag 2$$

(1)と(2)はどちらも等比数列なので、

$$ a_{n+1}-2a_n = 5^n (a_1-2a_0) = 5^n (3-2)= 5^n \tag 3 $$ $$ a_{n+1}-5a_n = 2^n (a_1-5a_0) = 2^n (3-5)= -2^{n+1} \tag 4 $$ (3)-(4) $$ a_n = \frac{1}{3} (5^n + 2^{n+1}). \blacksquare $$

(私の投稿をご覧ください すべての正の整数についてそれを示す $ f_n=\frac{\left ( \frac{1+\sqrt5}{2} \right )^n-\left ( \frac{1-\sqrt5}{2} \right )^n}{\sqrt5}$

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