の表現の例 $U(1)$ と $n>2$

1
Antoni Parellada 2020-11-08 07:43.

これは、最初は直感的に明らかであるように思われるアイデアの1つですが、その後、ぼやけ始めます。「こんなものはない」というコメントがあります$n$-の次元表現 $U(1)$。」この投稿とPeterWoitの量子理論、グループ、表現の説明:はじめに

図2.2:表現の視覚化 $π : U(1) → U(n),$その差とともに。写真の右側にある球形の図は、スペースを示しているはずです$U(n) ⊂ GL(n, C)$ (($GL(n, C)$ それは $n \times n$ 複雑な行列、 $C^{n^2},$行列式がゼロの行列の軌跡を引いたもの。これは反転できないものです)。それは際立ったポイント、アイデンティティを持っています。表現$π$ 円を取る $U(1)$ 中の円に $U(n).$ その派生物 $π'$ 接空間を取る線形写像です $iR$ 接空間の線と同一性のある円に $U(n)$ アイデンティティで。


私はどのように理解しています

$$R(U(1)) =\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \in GL(2,\mathbb C)$$

これは次のように表すことができます

$$R(U(1)) =\begin{bmatrix}e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{bmatrix}$$

固有ベクトルに基づいて $\left\{ \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}-i \\ 1 \end{bmatrix}\right\}$

しかし、表現の意味は何ですか $GL(n,\mathbb C)$$n>2$?次のようなテンソル基底ベクトルを導入するという考えです$e_1 \otimes e_2$?ブロック行列は直和であるのに対し、テンソル積は既約表現を構築するため、私はそうは思いません。結局、上に貼り付けられた図の球は、その表面に埋め込まれた単一の円を超えて象徴しようとしていますか?

または、代わりに、各エントリの意味は何ですか(を超えて) $n=2$)で $e^{-im_n\theta}$

$$R(U(1)) =\begin{bmatrix}e^{im_1\theta} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{im_2\theta} & 0 & 0 \\0&0&\ddots &0\\ 0 & 0 & 0 & e^{im_n\theta} \end{bmatrix}$$

そのような表現の例を $n>2$ 概念を理解するには?

1 answers

2
Vincent 2020-11-11 12:24.

言語に関するいくつかの意見

グループの表現 $G$ 確かにあなたが説明するものです:線形マップ $R$ から $G$ グループに $GL(n, \mathbb{C})$行列の。ほとんどの場合、これらの行列が作用するベクトル空間は表現とも呼ばれ、空間のプロパティは、その次元と同様に、表現のプロパティであるかのように日常の言語で使用されます。これは混乱を招く可能性がありますが、慣れています。この後者の現象の明確な例は、いくつかの2つの表現がある場合です。$G$ 直和をとって3番目の表現を作成します。

うまくいけば、ベクトル空間の直和が何であるかを知っています。表現の直和は、対応するベクトル空間の直和であり、新しい表現は、最初の表現によって一方の加数に作用し、もう一方の加数に作用することによって、この直接和に作用します。対応する行列は、あなたの例のように、ブロックがすべてであるブロック行列になります$1$-沿って-$1$

ベクトル空間を参照する習慣があります $V$ その上で行列 $R(G)$ それが地図ではなく、私たちが話していた「表現」であるかのように振る舞います $R$それ自体-一部の人々はそれをあまりにも公然と避けるように非常に慎重ですが、私は個人的には常にそれをしています。特に以下の答えで。

第二に。「表現」という言葉の背後にある哲学は、あなたがこの非常に抽象的な要素を持っているということです$g$ 非常に抽象的なグループで $G,$ そしてあなたはそれを非常に具体的な線形変換で表現します $R(g)$。表現では、すべてを理解することができます。$R(g)$ は単なる反射、回転、またはその他の非常に具体的な説明であり、設定したときにベクトル空間のすべての点がどこに行くかを示しています。 $R(g)$緩んでください。したがって、それは私たちが何を視覚化または理解するのに非常に役立ちます$G$やっています。同時に、私たちはそれを言うまでは行きません$R(G)$ です $G$、 またはその $R(g)$ 要素です $g$; ここでは、この具体的なベクトル空間上で、それを表すだけです。別の表現をとることができた$R'$ どこ $R'(g)$ 同じように具体的に見えますが、それでもかなり異なります。

あなたの質問

あなたのコメントから判断すると、あなたの問題はこの最後の点にあると思います。同じグループの本当に異なる表現がありますか?より具体的には:

もし $G$ それ自体はたまたま次のような行列群です $SU(n)$、「標準」以外の表現はありますか? $R$ 含まれているだけです $G$$GL(n, \mathbb{C})$ グループを定義するために使用されますか?

答えはイエスですが $U(1) \cong SO(2)$ これを見るのは少し不幸な例です。なぜなら、すべての異なる表現は、次のような非可換グループの場合よりも互いに似ているからです。 $SU(2)$。いくつかの例を示します$SU(2)$ の代わりに $U(1)$ このため、に戻って $U(1)$ 後で、私があなたの2番目の質問に取り組むとき:

達成しようとしている表現は何ですか?

ここにサークルグループ $U(1)$実際に使用するのに最適な例です。(だから、いくつか勝ち、いくつかを失う)

退屈な答えと興味深い答え

だから私たちは最初にあるかどうか知りたいです $SU(2)$ 以外の次元の担当者 $2.$ 退屈な答えを得る方法は、 $m$標準表現のコピー。これは$2m$-次元なので、完了です。しかし、それは私たちに新しいことを何も教えてくれません、それはまさにあなたが話していたほとんどトートロジーのようなものです。したがって、おそらく次のような質問に絞り込む必要があります。

ある $SU(2)$ 以外の次元の担当者 $2$ それは小さいものの直接の合計ではありませんか?

このような表現は、分解不可能と呼ばれます。はるかに有名な概念は、既約であるという概念です。既約とは、行列が$R(G)$ 空間に作用する $V$、適切なゼロ以外の部分空間はありません $W \subset V$ それぞれのように $R(g)$ からのベクトルをマップします $W$ に戻る $W$。したがって、そのような場合$W$ 存在し、そして $V$ したがって、既約ではありません、部分空間 $W$の表現であります$G$それ自体で(「サブ表現」)。これは自動的にそれを意味するものではありません$V$ その場合も分解不可能ではありません-の存在 $W$ 他の表現の存在を自動的に暗示するものではありません $U$ そのような $V \cong U \oplus W$。したがって、既約は分解不可能であることを意味しますが、必ずしもその逆ではありません。

良いニュースは、グループが位相空間としてコンパクトである場合、既約と分解不可能の2つの概念同等であり、すべてのサブ表現に対して同等であるということです。$W$ いくつかの表現の $V$ 補完的な表現があります $U$ そのような $V \cong U \oplus W$。これは私たちにとって朗報です。$SU(n)$ あるコンパクトなだけでなく、サークルグループとすべての有限群。したがって、多くの実用的な目的のために、分解不可能および既約を交換可能として扱うことができます。

(これは非常に魔法のようなものであることに注意してください。定義した表現は完全に代数的な概念のようで、突然トポロジが急降下し、あらゆる種類の予期しない結果をもたらし始めます。このような予期しないリンクが、この主題を気に入っている理由です。)

したがって、質問の再定式化は次のようになります。

既約はありますか $SU(2)$ 以外の次元での表現 $2$

退屈で興味深いスケールの中間的な答えは、自明表現です。ここにマトリックス$R(g)$すべての単位行列です $g$。表現は、グループに関するすべての興味深い情報を忘れています$G$ しかし地図 $R$ 準同型であるため、それでも重要です。

私たちはあらゆる次元で自明表現を持っていますが、そのうちの1つ、 $1$-次元のものは既約です。その理由は、自明表現のすべての部分空間が(自明な)部分表現であるためです。もちろん、すべてのグループに自明表現が存在します。

第二部(表現論の目的について)に入ると、一次元の既約表現を単純に無視することはできないことがわかります。厳密に言えば、それは私たちの質問に対する答えですが、もちろんそれは非常に不十分です。 1。そこで、以下にさらに興味深い例をいくつか示します。

の高次元既約表現 $SU(2)$

$SU(2)$ 次元に既約表現があります $n$ それぞれについて $n$。これはかなり魔法のように聞こえます、$1$ そして $2$-次元の例だけがはるかに直感的に聞こえます。私はこの直感が間違っている理由の概念的な説明を実際には持っていないので、代わりにこれらの既約表現の明示的な説明を提供し、低次元のもの(または他の担当者)が行うことを確認する(より難しい)タスクを残します確かに、高次元のものの「内側」に座ってはいけません。

彼らはどんな見た目ですか?ザ・$n$-の次元既約表現 $SU(n)$次数のすべての同次多項式で構成されます$n-1$ 2つの変数で $X$ そして $Y$。だから具体的には$4$-次元repは、多項式のすべての線形結合で構成されます $X^3, X^2Y, XY^2$ そして $Y^3$。ザ・$6$-次元表現は次数の多項式で構成されます $5,$ 根拠があります $X^5, X^4Y, X^3Y^2, XY^4, Y^5,$

では、どのように $SU(2)$このスペースで行動しますか?この空間の典型的なベクトルは多項式であるため、関数として考えることができます。それを呼びましょう$f$。私たちがそれを説明した方法$f$ 入力にかかります: $X$ そして $Y$ (または私たちが表す2つの複素数 $X$ そして $Y$必要に応じて、関数の内部動作の説明で)。しかし、私たちの目的のためには、考える方が良いです$f$ 単一の入力を取るように、行ベクトル $(X, Y)$。今要素$g \in SU(2)$右乗算によって行ベクトルのセットに作用します。の値が何であれ$X$ そして $Y$、ベクトル $(X, Y)g$ 再び長さの行ベクトルです $2$ したがって、 $f$

これは私たちが表現をするために使用するものです $R$。それを思い出します$R(g)$ベクトルをベクトルにマップする必要があります。つまり、多項式を多項式にマップする必要があります。今$R(g)f$ ベクトルが与えられたときにその多項式です $(X, Y)$ 入力として、出力として数値を与えます $f((X, Y)g),$ だから同じ出力関数 $f$ 代わりに、$(X, Y)$ それは供給されました $(X, Y)g$:させた結果 $g$ に従う $(X, Y)$。事実$f$異なる入力が与えられたときにこれと同じ答えを生成することができたので、気が散ることはありません:事実は、新しい多項式が$R(g)f$ ベクトルだけが与えられたときにすでにこの答えを与えます $(X, Y)$

なぜこれが表現なのですか?さて、行列の場合$g_1, g_2 \in SU(2)$ 私たちはそれを見たい $R(g_1)R(g_2)f = R(g_1g_2)f$。これが実際に当てはまることを確認するために、両方の関数にベクトルを供給します$(X, Y)$

$R(g_1)R(g_2)f$ おそらくもっとよく書かれています $R(g_1)(R(g_2)f)$。だから給餌$(X, Y)$ これにベクトルを供給することと同じです $(X, Y)g_1$ 関数に $R(g_2)f$。しかし、ベクトルをにフィードすると何が得られるかはわかっています$R(g_2)f$:関数を供給した結果だけ $f$ させることによって得られるベクトル $g_2$私たちのベクトルの右から行動します。したがって、この場合、それは私たちが得ることを意味します$f((X, Y)g_1g_2)$

これが摂食の結果でもあることを理解するのは難しいことではありません $(X, Y)$$R(g_1g_2)f$

そう $[R(g_1)R(g_2)f](X, Y) = [R(g_1g_2)f](X, Y)$ すべてのために $f$ そしてすべて $X$ そして $Y$、したがって $R(g_1)R(g_2)f = R(g_1g_2)f$ すべてのために $f,$ それゆえ $R(g_1)R(g_2) = R(g_1g_2)$ 私たちが望んでいたように。

これは $R$確かに表現です。(上記のスペースに制限する場合)既約であることは、個別のチェックが必要な別の問題です。それはあなたにお任せします。

今、私たちがこれらすべてを受け入れるなら $n$-次元表現は既約であるため、次のステップは、それらが異なることを確認して、非常に簡単です。つまり、それらを見てください!一人一人が異なる次元を持っています!

これが理由です $SU(2)$ より良い例です $U(1)$$U(1)$ また、無限に多くの異なる既約表現がありますが、それらはすべてです$1$-次元なので、これを例として使用する前に、同じであるか異なるかについて少し難しいことを考える必要があります。

パートII:表現論の目的は何ですか?

もちろんたくさんありますが、私はこの話に重要で関連性のあるものを選び出します。

私は上に書いた:

すべてのサブ表現に対して $W$ いくつかの表現の $V$ [コンパクトリー群の $G$]補完的な表現があります $U$ そのような $V \cong U \oplus W$

この考え方を続けると、次のように結論付けます。

すべての表現 $V$ コンパクトリー群の $G$ 直和として分解できます $V = V_1 \oplus V_2 \oplus ...$既約subrepresentations。

表現論(のサブセット)の目標は、各コンパクトについて見つけることです。 $G$、そのすべての既約表現とそれらのプロパティを非常によく理解しているので、何らかの表現に遭遇するたびに $V$$G$ 自然な設定やアプリケーションでは、私たちがする必要があるのは、 $V$ (上記のように)既約表現に変換し、これらの既約表現に関する事前に計算された知識を適用して、 $V$ 私たちが望むことができること。

残っている唯一の質問は、元の投稿からの質問です。

いつ、どこで「自然な」表現の例「野生の」を見つけるでしょうか?

つまり、この機械があるのはいいことですが、それはあなたがそれを使うことができる場合に限ります。

物理学は多くの例を提供しますが、私はそれらを本当に理解していないので、それらについてコメントしません。例の2番目のクラスは、あなたが述べたように、テンソル積から来ています。

少し前に、「標準」の3次元表現の3つのコピーのテンソル積を分解する方法について別の回答を書きました。 $SO(3)$既約元に。興味深いのは、1次元の些細な既約表現が分解に現れることです。だから私は、それを病理学的なケースとして単純に無視することはできないと上に書いたのです。答えはここにあります。

しかし、私が書いたように、最良の例は次の場合から来ています $G = U(1)$

の場合 $U(1)$

$U(1)$ の要素によってインデックス付けされた、無限に多くの既約表現があります $\mathbb{Z}$。ただし、それらはすべて1次元であるため、それぞれについて$g \in U(1)$ マトリックス $R(g)$ 一つずつであり、グループにあります $U(1)$自体。実際の表現$R$ それは番号で索引付けされています $n$ (正、ゼロ、または負)によって作用する $R(g) = g^n$、または同等に、 $R(e^{i\theta}) = e^{in\theta}$

の場合 $n = 0$ 自明表現です。

さて、大きな「自然な」表現のために $V$。このために私たちはすべてのスペースを取ります$2\pi$-の周期関数 $\mathbb{R}$。周期的とは、それらが円上で機能していると考えた方がよいことを意味します。サークルグループ$U(1)$円を回転させ、私たちが行ったことと完全に類似したプロセスによって円に作用します$SU(2)$ 長さの行ベクトルに作用する $2$ 私たちはの行動を回します $U(1)$円の上で表現に $R$$U(1)$円上のすべての関数の(巨大で無限の次元の)空間上。

今私が言ったように、この表現は巨大ですが、 $U(1)$コンパクトであるため、非常によく理解されている既約元、この場合は1次元の表現の直接和として分解できます。結果として、単一のベクトルを取ることができます$f$ 巨大な空間(つまり、単一の周期関数)で、それをベクトルの無限の合計(したがって:関数)に分解します。各ベクトルは、1次元空間の1つに存在します。 $U(1)$ アクションは本当に素晴らしく、シンプルでよく理解されています。

あなたはほぼ確実にこの分解を知っています:それはフーリエ級数です $f$、すべての数学で最も有用な概念の1つ!!

したがって、ここでは、表現論(または、表現論のこのブランチがまさにこの理由で呼ばれることがあるため、調和解析)に関する1つの視点を見ることができます。

表現論は、基礎となるグループが必ずしもそうではない場合へのフーリエ理論の一般化です。 $U(1)$


パートIII:写真はどうですか?(後で編集)

あなたの最初のコメントは2番目のコメントよりも良くなります。写真の球はグループを表すことになっています$U(n)$$n \times n$ マップが入る行列 $R$マップ。それは比喩/アナロジー/などです:ありません$n$これは球のように見えます。ただし、画像の球は、よりもはるかに小さく、薄い(低次元)$3$-それを取り巻く次元空間、これは「現実」で対応します $U(n)$ に浮かんでいるいくつかの幾何学的オブジェクトであること $2n^2$-すべての複素数の次元空間 $n$-沿って-$n$ 行列はそれ自体がはるかに小さく、低次元です。

例:すべてのスペース $2$-沿って-$2$ 行列は $4$ 複雑な寸法ですが、(したがって)幾何学的な観点から $8$実際の寸法。グループ$U(2)$ 中に座っているだけです $4$ 実次元:リー群として、乗算中の非ゼロクォータニオンのグループと同型であるため、実数のように見えます $4$1点を削除したDスペース。正確には球のようなものではありませんが、それは高次元の非常に単純な空間に浮かんでいる低次元のやや奇妙な形であるという点で、写真のアナロジーに適合しています。

リー群をすべてのより大きな空間にある幾何学的オブジェクトと考えると、 $n$-沿って-$n$ 行列、次に地図の画像 $R$ から $U(1)$そのようなリー群にとっては、その幾何学的オブジェクトの内側のどこかに座っている単なる円です。のさまざまな表現$U(1)$ 同じスペースに(したがって、異なるマップ $R$ 同じマトリックスグループに)は、この幾何学的オブジェクト上の異なる円に対応します(画像では球として描かれていますが、実際には球ではありません)。

そのような円の例を得るために、すべての周期関数の例を取るべきではありません。そのような関数の空間は無限次元であるため、その空間上のすべての「行列」(線形変換)の空間も無限次元であり、そこには、無限次元の「小さな」オブジェクトとして、単一のグループがあります。想像するのは非常に困難です。

代わりに地図を取る $R$ から $U(1) \cong SO(2)$$SO(3)$。後者のグループは$3$-形状を描くのがやや難しい次元オブジェクト(次元の実際の射影空間 $3$)中にうまく座っている $9$-すべての実数の次元空間 $3$-沿って-$3$行列。今のすべての要素$SO(3)$、のいくつかの変換として表示 $\mathbb{R}^3$、はある軸を中心とした回転です。逆に、軸を固定すると、その軸の周りのすべての回転のセットを見ることができ、それが円グループと同型であることを確認するのは難しくありません。したがって、任意の同形体$R$ サークルグループから $U(1)$ この一連の回転は、次の表現として表示できます。 $U(1)$ 実際の3次元空間で。

幾何学的に言えば、軸のさまざまな選択は、3Dブロブのさまざまな円に対応します $SO(3)$ 座って $9$-スペース。これらの円はすべて同じ点、つまり単位行列を通過します。

違うかどうか?

現在、異なる円で描かれているこれらの異なる表現は、表現として見た場合、実際には同等(「同じ」)です。やや非公式に言えば、これは、幾何学的オブジェクト内の対応する円の場合に得られるものです。$SO(3)$ 引き裂いたり伸ばしたりせずに互いに移動することができます。

では、同じ空間での非等価(実際には異なる)表現の例はどうでしょうか?ここで、の1次元既約表現に戻ります。$U(1)$

の1次元表現 $U(1)$ 再訪

そのようなそれぞれ $R$ リー群の地図です $G = U(1)$ マトリックスグループへ $U(1) \subset GL(1, \mathbb{C})$。後者は写真の球の類似物です:それはより大きな内部に座っている一次元の球(円)です$2$-すべての1行1列の行列の次元空間(複素平面)。

これで、各表現はこの円上に円を描きます。それらはどのように異なることができますか?これはあなたのコメントからの「異なる速度」が出てくるところです。

送信する表現 $e^{i\theta}$$e^{i\theta}$円をそれ自体にマッピングする通常の方法です。マップする表現$e^{i\theta}$$e^{2i\theta}$円をターゲット円の周りに2回ラップします。マップする表現$e^{i\theta}$$e^{-i\theta}$円をターゲット円の周りに1回ラップしますが、反対方向にラップします。等。

それらがどのように同等でないかがわかります。輪ゴムをシリンダーに2回巻き付けると、1回だけ巻き付けられる状況に戻る方法がありません。

では、分解はどうですか?

この図に欠けているのは、(たとえば)2次元表現が2つの1次元既約表現に分解される様子を確認する方法です。このために私は考えることをお勧めします$U(2)$球としてではなく、トーラスとして。同様に不正確ですが、はるかに役立ちます。

A $2$D-の表現 $U(1)$次に、このトーラスに描かれた円に対応します。この円は、おそらく複雑な方法で曲がりくねって穴を通り抜けます。素敵な分解は、次のように言うことに対応します。「待ってください。「穴を通して」方向だけを見ると、1つの単純な円が作成され、「穴の周り」方向を見ると、2つの円が作成されてから帰宅します。したがって、この「複雑な」表現は、送信する表現の直接の合計にすぎません。$e^{i\theta}$$e^{i\theta}$ と送信するもの $e^{i\theta}$$e^{2i\theta}$!」

幾何学的な図では、部分表現は異なる「方向」に対応し、分解はそれらの方向に投影することによって円を理解することに対応します。

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