順列を3サイクルに分解する

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Robin Andrews 2020-11-02 05:28.

解決方法がわからない2つの演習があります。

  1. 順列を書く $α = (1 2)(3 4)$ 3サイクルの製品として
  2. 順列を書く $α = (1 2 8 3 7)(4 5 6)$ 3サイクルの製品として

順列を2サイクルの合成に変換する方法を知っていますが、3サイクルの合成には変換しません。奇数/偶数のプロパティに応じて、これが可能な場合のルールがあると思いますが、順列のパリティについて学習するために前述の演習を使用しているため、その理解に基づいた議論にはまだ従いません。

また、私は左から右への構成で作業しています $(123) = (12)(13)$

助けてくれてありがとう。

2 answers

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Cristofer Villani 2020-11-02 06:00.

まず、3サイクルが偶数であり、偶数の順列の積がそれ自体であることに注意してください(それが何を意味するかを知っている場合、これは、各順列をその符号に送信するマップが準同型であるという事実から来ています)、順列の場合3サイクルの積として書かれるためには、それが均一である必要があります。幸いなことに、あなたの$\alpha$です。

さて、ここで一般的な議論をしましょう。うまくいけば、上記のケースに特化できるようになるでしょう。均等な順列を取る$\sigma$ 転置の積として書いて、 $\tau_1\cdots\tau_k$、 どこ $k$均等でなければなりません。見つめている$\tau_1\tau_2$、あなたは推測することができます $\tau_1\neq\tau_2$それ以外の場合、それらの積は同じ順列です。次に、2つのケースがあります。

  1. $\tau_1=(ab),\tau_2=(ac)$、すなわち $\tau_1,\tau_2$ 共通の番号を並べ替える、 $a$。この状況では、あなたが指摘したように$(123)$$(ab)(ac)=(abc)$、 そう $\tau_1\tau_2$ 3サイクルです。
  2. $\tau_1=(ab),\tau_2=(cd)$、と $a,b,c,d$異なる、すなわちそれらは互いに素です。この場合、$(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ そして、ポイント1までに2つの3サイクルの積が得られます。

その事実を繰り返して使用する $k$ でも、あなたは完全に分解されます $\sigma$3サイクルで。ちなみに、これは実際には、任意の順列が3サイクルの積として記述できることを証明しています(ここでも、用語に精通している場合は、$A_n$ 3サイクルで生成されます)。

1
August Liu 2020-11-02 06:37.

クリストファーはすでにあなたの質問に答えているので、物事をいつ分解できるかについての「ルール」があるかどうか疑問に思っていたので、一般的なケースを追加します。これは私がBeardonAlgebra and Geometryから学んだことですが、確かにもっと多くの参考文献があります。

定理。しましょう$\sigma\in S_n$ 順列であること、 $2 \leq m \leq n.$ 次に $\sigma$ の製品として分解することができます $m$-サイクル $\iff$ どちらか $m$ 偶数または $\sigma$ 偶数の順列です。

証明。 $\implies$ まるで簡単なはずです $\sigma$ 奇妙な順列であり、すべての $m$-サイクルは奇数の順列である必要があるため、 $m$ 均等です。

$\impliedby$ ケースI. $\sigma$ 順列である場合は注意してください $\left(a_{1} a_{2}\right)\left(a_{1} a_{3}\right)=\left(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \cdots a_{m}\right)\left(a_{m} \cdots a_{4} a_{3} a_{1} a_{2}\right)$ (または、左から右への構成を使用しているため、逆に)および(2)のCristoferのトリック $(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ あなたが書くことを可能にするでしょう $\sigma$ の製品として $m$-サイクル。

ケースII。場合$\sigma$ 奇妙な順列ですが $m$ 偶数の場合、ケースIを適用して分解します $\sigma (1 2 3 ... m)$$m$-偶数の順列であるサイクル、および乗算 $(m (m-1) ... 2 1)$ 終了すると右側に $m$-のサイクル分解 $\sigma$

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