なぜですか $\sum_{t=1}^n \exp \{ -t \Delta^2\} \geq \frac{1}{\Delta^2}$?

2
Tchaikovski 2020-10-21 16:45.

バンディット問題の下限に関する論文を読んでいます(https://arxiv.org/abs/1302.1611)。定理5では、2つのアームの問題の例で下限が証明されています。証明には、次のステップがあり、それはどこから来ているのだろうかと思います。

$\sum_{t=1}^n \exp \{ -t \Delta^2\} \geq \frac{1}{\Delta^2}$

私はそれをから導き出そうとしました

  • テイラー展開、
  • イェンセンの不等式、
  • 無限大に合計すると、

でも見えません。

ありがとう!

3 answers

4
Gary 2020-10-21 23:56.

逆の方法です: \ begin {align *} \ sum \ limits_ {t = 1} ^ n {\ exp(-t \ Delta ^ 2)}&\ le \ sum \ limits_ {t = 1} ^ n {\ int_ {t --1} ^ t {\ exp(-s \ Delta ^ 2)ds}} \\&= \ int_0 ^ n {\ exp(-s \ Delta ^ 2)ds} \ le \ int_0 ^ {+ \ infty} {\ exp(-s \ Delta ^ 2)ds} = \ frac {1} {{\ Delta ^ 2}}。\ end {align *}

3
Vianney Perchet 2020-10-22 03:18.

この不等式は確かに明らかに間違っています...定理5のステートメント(および証明)にはいくつかのタイプミスがあります。まず最初に、それは次の場合にのみ当てはまります。 $n \geq 1/\Delta^2$ (小さい場合 $n$、後悔は上界と下界 $n\Delta$ それ自体は $1/\Delta$)。また、合計はからでなければなりません$0$ まで $t-1$ (代わりに $1$ まで $t$ 私たちが書いたように)。

標準的な計算では、後悔はよりも大きいことがわかります $\frac{1-e^{-1}}{4\Delta}$ そしてさらに大きい $\frac{1}{4\Delta}$ 漸近的に $n$ (それが無限大になるにつれて)。

1
John Bentin 2020-10-22 00:17.

$$\sum\limits_{t = 1}^n {\exp ( - t\Delta ^2 )}<\sum\limits_{t = 1}^\infty {\exp ( - t\Delta ^2 )}=\sum\limits_{t = 1}^\infty {[\exp ( - \Delta ^2 )]^t}=\frac{\exp(-\Delta^2)}{1-\exp(-\Delta^2)}=\frac1{\exp\Delta^2-1}\\ <\frac1{\Delta^2}.$$

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