記述可能な四辺形の角度

2
Toni Mhax 2020-10-15 03:53.

私は(推測から)難しいかもしれない奇妙な質問に出くわしました。角の角度と正方形以外の中心の角度の間に全単射があるような、記述可能な四辺形はありますか?8つの角度すべてが90°です。中心角は、2つの連続する頂点と指定された中心によって形成される角度です。

2 answers

3
Jean Marie 2020-10-15 05:34.

これが線形代数の証明です:

コール $c_k, \ (k=1,2,3,4)$中央の角度。それらは、底角を持つ二等辺三角形を決定します

$$a_k=\frac12(\pi-c_k)\tag{1}.$$ 四辺形の頂点での角度は次のとおりです。

$$a_1+a_2, \ \ a_2+a_3, \ \ a_3+a_4, \ \ a_4+a_4,$$

特定の順列のために、私たちは持っている必要があります $d_k=c_k$$c_k$s:

$$\begin{cases} \frac12(2\pi-c_1-c_2)&=&d_1\\ \frac12(2\pi-c_2-c_3)&=&d_2\\ \frac12(2\pi-c_3-c_4)&=&d_3\\ \frac12(2\pi-c_4-c_1)&=&d_4 \end{cases} \ \iff \ \begin{cases} c_1+c_2+2d_1&=&2 \pi\\ c_2+c_3+2d_2&=&2 \pi\\ c_3+c_4+2d_3&=&2 \pi\\ c_4+c_1+2d_4&=&2 \pi \end{cases}\tag{2}$$

(2)次のマトリックス形式で書くことができます。

$$\left(\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}+2\underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{\binom{\text{any permutation matrix}}{\text{just an example here.}}}\right)\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\end{pmatrix}=2\pi \underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}_U\tag{3}$$

しかし、として $U$上で定義されたのは、同時に第1行列と第2行列の固有ベクトルであり、必然的にシステムの解になります。したがって、の4つの値$c_k$sは等しい(正方形の場合)。

より正確には、これはシステム(3)が可逆であるという条件の下にあります...私がすべてを考慮して検証したプロパティ $4!$ ケース(Matlabを使用)ですが、おそらくより直接的な証拠があります。

3
achille hui 2020-10-15 05:39.

答えはいいえだ。唯一可能な構成は、すべてのコーナー角度が$90^\circ$

しましょう $I$ 内心になり、 $A,B,C,D$ 四辺形の頂点になります。

しましょう $a$ 頂点に関連付けられた2つの接点によってなす角になります $A$
より正確には、$AB$ で内接円に接しています $A'$ そして $AC$ で内接円に接しています $A''$、その後 $\angle A'IA = 2a$。定義済み$b, c, d$ 頂点の場合 $B,C,D$ 同じように。

の面では $a,b,c,d$、 我々は持っています

$$\begin{cases} \angle DAB = \pi - 2a,\\ \angle ABC = \pi - 2b,\\ \angle BCD = \pi - 2c,\\ \angle CDA = \pi - 2d \end{cases} \quad\text{ and }\quad \begin{cases} \angle AIB = a+b \\ \angle BIC = b+c \\ \angle CID = c+d \\ \angle DIA = d+a \end{cases}$$ これらの4タプルの数のペアの間に全単射がある場合、次のようになります。

$$\begin{align} \sum_{cyc}(a-b)^2 &= \sum_{cyc}(2a^2 + 2b^2 - (a+b)^2) = \sum_{cyc}((2a)^2 - (a+b)^2)\\ &= \sum_{cyc}((2a)^2 - (\pi - 2a)^2) = \pi\sum_{cyc}(4a - \pi)\\ &= \pi \left[4\left(\sum_{cyc}a\right)- 4\pi\right]\\ &= 0\end{align}$$ なぜなら $\sum\limits_{cyc} a = \pi$。この力$a = b = c = d = \frac{\pi}{4}$ その結果、すべてのコーナー角度は $90^\circ$

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