見つけるのを手伝ってください $p(i+\sqrt{2}) = 0$、 $p(x) \in \mathbb{Q}$

1
kubo 2020-10-11 11:30.

私は証明をしています、そして私はそれを使う必要があります $\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})=\mathbb{Q}(i+\sqrt{2})$。体拡大の次数を計算したので、これを知っています。$1$。以来$\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})$ 以上 $\mathbb{Q}$ 有限です $\mathbb{Q}(i+\sqrt{2})$ 以上 $\mathbb{Q}$また、有限です。つまり、$i+\sqrt{2}$ 代数的です $\mathbb{Q}$。しかし、多項式が見つかりません$p(x)\in \mathbb{Q}$ 条件を満たす $p(i+\sqrt{2}) = 0$。誰かが私に多項式の例を教えてもらえますか$\mathbb{Q}$ この条件を満たす?

3 answers

3
Robert Lewis 2020-10-11 12:09.

設定する場合があります

$\alpha = i + \sqrt 2; \tag 1$

その後

$\alpha^2 = i^2 + 2i\sqrt 2 + (\sqrt 2)^2 = -1 + 2 + 2i\sqrt 2; = 1 + 2i\sqrt 2, \tag 2$

どこから

$\alpha^2 - 1 = 2i\sqrt 2, \tag 3$

または

$(\alpha^2 - 1)^2 = -8, \tag 4$

どこから

$\alpha^4 - 2\alpha^2 + 1 = -8; \tag 5$

最終的に、

$\alpha^4 - 2\alpha^2 + 9 = 0. \tag 7$

したがって、 $i + \sqrt 2$ 四次多項式を満たす

$x^4 - 2x^2 + 9 \in \Bbb Z[x] \subset \Bbb Q[x]. \tag 8$

2
WhatsUp 2020-10-11 11:38.

計算してみてください $(x - (i + \sqrt 2))(x - (-i + \sqrt 2))(x - (i - \sqrt 2))(x - (-i - \sqrt 2))$。次数の多項式を取得する必要があります$4$ にすべての係数があります $\Bbb Q$

2
Lubin 2020-10-11 12:40.

これが私がよく使うもう一つの方法です:

の最小多項式 $i$ は(もちろん) $g(X)=X^2+1$。次に、の多項式$i+\sqrt2$ になります $g(X-\sqrt2)=(X-\sqrt2\,)^2+1=X^2-2\sqrt2+3$、もちろんそうではありません $\Bbb Q$-多項式。しかし、それをその共役で乗算すると、$\overline g(X)=X^2+2\sqrt2+3$、他の人と同じ最終結果が得られます。 $g\overline g(X)=X^4-2X^2+9$

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