コラッツの予想:の力の合計についての私の推論をチェックする $2$ サイクルが存在する場合

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Larry Freeman 2020-09-27 14:00.

この質問の長さについてお詫び申し上げます。コラッツの問題でこの赤ちゃんの一歩を踏み出すのは驚くほど難しいと思いました。

不明な手順を見つけた場合は、コメントでお知らせください。更新します。

しましょう

  • gcd$(a,b)$ の最大公約数になる $a$ そして $b$

  • $C(x) = \dfrac{3x+1}{2^w}$ どこ $w$ の最高の力です $2$ 分割する $3x+1$

  • $x_1>1, x_2>1, \dots, x_n>1$ のシーケンスである $n$ のアプリケーションごとに異なる奇数の整数 $C(x_i)$ そのため:

  • ために $i > 1$$x_i = C(x_{i-1})$
  • $x_i > 1$
  • $C_1(x) = C(x)$
  • $C_n(x) = C(C_{n-1}(x))$
  • それぞれについて $x_i$、 が存在します $w_{x_i,1}\ge 1, w_{x_i,2} \ge 1, \dots w_{x_i,n} \ge 1$ そのような:

$$C_n(x_i) = \dfrac{3^n x_i + 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)}{2^{\left(\sum\limits_{k=1}^n w_{x_i,k}\right)}}$$

注1:この式の詳細については、コラッツ予想に関連するこの関数定義は有効ですか?

  • $m \ge n$ 整数である $m = \sum\limits_{k=1}^{n}w_{x_1,k}$

  • 整数をしましょう $c_1 > 0, c_2 > 0, \dots, c_n > 0$ それぞれがnサイクルを形成するように $c_{i+n} = c_i$

  • $\text{avg}(c_1, c_2, \dots, c_n) = \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n c_k}{n}$

観察

  • 与えられたnサイクル: $c_1, c_2, \dots, c_n$、 が存在します $1 \le k \le n$ すべての人のために $k \le j < k+n$

$$\sum\limits_{i=k}^{j} c_i \le \text{avg}(c_1, c_2, \dots, c_n)$$

引数

  • ベースケース$n=2$:どちらか $c_1 \le \text{avg}(c_1, c_2)$ または $c_2 \le \text{avg}(c_1,c_2)$
  • と仮定する $k$ のために存在します $n$-までサイクル $n \ge 2$
  • 帰納的ケース
  • しましょう $d_1, d_2, \dots, d_n, d_{n+1}$$(n+1)$-サイクル $d_{n+1+i} = d_i$
  • が存在します $1 \le m \le n$$d_m < \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_n, d_{n+1})$。それ以外の場合、すべての値は$\text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_{n+1})$ および任意の $1 \le i \le n$ として機能します $k$
  • しましょう $c_1, c_2, \dots, c_n$$n$-次のようなサイクル: $$c_i = \begin{cases} d_i, & i < m\\ d_{i+1}-\text{avg}(d_1,\dots,d_{n+1}) + d_i, & i = m\\ d_{i+1}, & i > m\\ \end{cases}$$
  • 以来 $c_1, c_2, \dots, c_n$ を形成します $n$-サイクル、存在します $1 \le k \le n$ すべての人のために $k \le j < k+n$

$$\sum\limits_{i=k}^{j} c_i \le \text{avg}(c_1, c_2, \dots, c_n) = \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_n, d_{n+1})$$

  • ケース1$k = m$ $$d_k = d_m < \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_{n+1})$$
  • ケース2$1 \le j \le n$ そして $k+j < m$
  • 仮定により: $$\sum\limits_{i=k}^{k+j} c_i = \sum\limits_{i=k}^j d_i \le \text{avg}(c_1, c_2, \dots, c_n) = \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_n, d_{n+1})$$
  • ケース3$1 \le j \le n$ そして $k+j = m$ $$\sum\limits_{i=k}^{k+j} d_i = \left(\sum\limits_{i=k}^{k+j-1} d_i\right) + d_m \le \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_n, d_{n+1})$$
  • ケース4$1 \le j \le n$ そして $k+j > m$ $$\sum\limits_{i=k}^{k+j} d_i = \left(\sum\limits_{t=k}^{k+j-1} c_t\right) - \text{avg}(d_1,d_2,\dots,d_{n+1}) + d_{m} \le \text{avg}(d_1, d_2, \dots, d_{n+1})$$

質問

それは今それに従いますか $x_1, x_2, \dots, x_n$ nサイクルを形成し、次にいずれか $2^{m-1} < 3^n$ または存在する $x_i$ どこ $x_i < n$

はいの場合、同じ議論をするためのより簡単な、またはより直接的な方法はありますか?

引数

(1) $x_1, x_2, \dots, x_n$ nサイクルを形成します。

(2)それぞれについて $x_i$、次のようになります。

$$x_i = C_n(x_i) = \dfrac{3^n x_i + 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)}{2^{\left(\sum\limits_{k=1}^n w_{x_i,k}\right)}}$$

これは、次のことを意味します。

$$x_i\left(2^{m}-3^n\right) = 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)$$

(3) $2^m > 3^n$

これは以来続く $2^m - 3^n = \dfrac{3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)}{x_i}$

以来、明らかに: $\dfrac{3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)}{x_i} > 0$

(4) $2^{m-1} > 3^n$

(5) $2^m - 3^n > 2^m - 2^{m-1} = 2^{m-1}$

(6)それぞれの平均 $w_{x_i,k}$ です $\dfrac{m}{n}$$2^{\frac{m}{n}} > 3$ 以来:

  • $m \ln 2 > n \ln 3$
  • $\frac{m}{n}\ln 2 > \ln 3$
  • $2^{\frac{m}{n}} > 3$

(7)以来 $x_1, x_2, \dots, x_n$ を形成します $n$-サイクル、上記の観察から、存在します $x_i$ それぞれのために $1 \le u \le n$$\left(\sum\limits_{k=1}^{u} w_{x_i,k}\right) \le \dfrac{um}{n}$

注:観測の議論は、循環トレッキング問題に関するよく知られたガソリンスタンドの解決策から導き出されています。

(8) $2^{m-1}n > 3^{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(3^{n-i-i}2^{\left(\sum\limits_{k=1}^i w_{x_i,k}\right)}\right)$ 以来:

  • $2^{m-1} > 3^{n-1}$ 上記のステップ(3)から
  • $2^{m-1} \ge 2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1} w_{x_i,k}\right)}$
  • $2^{m-1} > 2^{(n-1)\frac{m}{n}} > 3\times2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{n-2} w_{x_i,k}\right)}$ 以来: $\dfrac{m}{n} > 1$ から $2^{\frac{m}{n}} > 3$ そして $\frac{m}{n} + (n-1)\frac{m}{n} = m < m-1 + \frac{m}{n}$
  • $2^{(n-1)\frac{m}{n}} \ge 3^2\times2^{\left(\sum\limits_{k=1}^{n-3} w_{x_i,k}\right)}$
  • $\dots$
  • $2^{(n-1)\frac{m}{n}} \ge 3^{n-2}\times2^{w_{x_i,1}}$

(9) $x_i < \dfrac{2^{m-1}n}{(2^m - 3^n)} < \dfrac{2^{m-1}n}{2^{m-1}} = n$


編集1

推論の間違いを見つけたので、推論の間違いを修正するために、タイトルを少し変更し、質問を変更しました。


編集2

JohnOmielanからのコメントに基づいて変更を加えました。

1 answers

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Collag3n 2020-09-27 22:57.

から コラッツ予想の最終的な反例の非周期性を証明するための可能な方法は? あなたはそれをサイクルで見ることができます: $$2^m\leq (3+\frac{1}{x_{min}})^n$$

あなたがそれを述べるならば $2\cdot3^n<2^m$ あなたが持っているより

$$2\cdot3^n< (3+\frac{1}{x_{min}})^n$$ $$2^\frac{1}{n}\cdot3<3+\frac{1}{x_{min}}$$ $$x_{min}<\frac{1}{3(2^\frac{1}{n}-1)}<n$$

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