$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

2
Averroes2 2020-09-24 19:20.

私は次の機能を持っています:

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

この機能が継続しているかどうかを調査する必要があります。スペースが怖い$ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$。そのような問題にどのように取り組むかという一般的なルールはありますか?

ここで何かをするためには、位相空間/距離空間を使う必要があると思います。私の素朴な試みは最初はこれでした:

$f_1:x \mapsto \sin(x)$ 継続的です。 $f_2:x\mapsto e^x$継続的です。したがって、$f_1\circ f_2$私はこれを一般的なトポロジーから知っているので、これも継続的です。しかし、ここには一連の関数があり、製品トポロジを使用するために何らかの方法が必要です...

これについて何か助けはありますか?

1 answers

5
k.stm 2020-09-24 19:56.

スペース用 $X, Y$、には多くの可能なトポロジがあります $Y^X$ (として解釈されるように $Y^X = \mathcal C (X,Y)$連続写像の空間$X → Y$)、2つの最も自然な存在

  • コンパクト開位相のいくつかの固定されたコンパクトなセットをマッピング関数のすべてのセットが開いているように、粗いトポロジーであり、$X$ いくつかの固定されたオープンセットに $Y$、および
  • 積位相評価として解釈ここでは-すべての投影を行う最高のトポロジーであり、 -$Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ にとって $x ∈ X$ 継続的。

コンパクトオープントポロジの場合。位相空間の場合$X$$Y$ そして $Z$$Y$局所コンパクトであるため、指数法則と呼ばれる全単射があることがわかります。$$Z^{X×Y} \to (Z^Y)^X$$この全単射はカリー化とも呼ばれます。

この場合、あなたのカレーなしのバージョン $f$ 地図です $$ℝ × ℝ → ℝ,~(x,t) ↦ \mathrm{e}^{t \sin x}.$$ 今、指数法はそれを意味します $f$ このマップがそうである場合に限り、継続的です–そうですか?

製品トポロジーの場合、マップ$f \colon X → Z^Y$ によって与えられるすべてのコンポーネントの場合にのみ連続です $X → Z,~x ↦ f(x)(y)$ にとって $y ∈ Y$ です。

あなたの場合、コンポーネントはすべてのためのものです $t ∈ ℝ$ によって与えられた $$ℝ → ℝ,~x ↦ \mathrm{e}^{t\sin x}.$$ これらは継続的ですか?

警告。Asaf Karagilaが指摘するように、$Y^X$通常、すべてのマップのセットとして解釈されます$X → Y$、この場合、最も自然な単一のトポロジーは再び製品トポロジーであり、すべての投影を行う最も優れたトポロジーとしてもう一度定義されます。 $Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ にとって $x ∈ X$継続的。この場合、製品トポロジーに関する議論は引き続き保持され、の継続性を確認できます。$f$ コンポーネントごと。

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