その2つのグループを証明する方法 $G$ そして $H$ 同型ですか?

1
TopologicalKing 2020-09-16 03:06.

しましょう $G = \big\{a + b\sqrt2 \mid a,b \in\mathbb{Q}\big\}$

しましょう $H = \bigg\{\begin{bmatrix} a & 2b \\ b & a \end{bmatrix} \biggm |a,b \in\mathbb{Q}\bigg\} $

そして、 $0_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

私は両方が $G$ そして $H$ いくつかの計算の後、アーベル/可換である $G1 + G2 = G2 + G1$ そして $H1 + H2 = H2+ H1$

今私はそれを示さなければなりません $G$ そして $H$同形です。私はからの同型写像が$G1$$G2$全単射準同型です。私たちは$G1$ そして $G2$ 同型、そして書く $G1 \cong G2$ からの同型写像の場合 $G1$$G2$ 存在します。

私はそのような証明を構築する方法に苦労しています。

前もって感謝します。

3 answers

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rain1 2020-09-16 04:55.

$\{1, \sqrt{2}\}$ スペースの基礎です $\{a + \sqrt{2} b \mid a,b \in \mathbb Q\}$

乗算は次のように表すことができます $a + \sqrt{2} b$ 基底ベクトルにどのように作用するかに注目することにより、行列として。

  • $(a + \sqrt{2} b) \cdot 1 = a + \sqrt{2} b$
  • $(a + \sqrt{2} b) \cdot \sqrt{2} = 2 b + \sqrt{2} a$

そう $1$ にマッピングされます $(a,b)$ そして $\sqrt{2}$ にマッピングされます $(2b,a)$

したがって、これをマトリックスにまとめることができます $$M = \left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a \\ \end{array} \right)$$

本当に

  • $M(1,0) = (a,b)$
  • $M(0,1) = (2b,a)$

第二に $M$ を表す $\alpha$ そして $N$ を表す $\beta$ 行列積が $MN$ を表す $\alpha \beta$

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José Carlos Santos 2020-09-16 03:23.

以来$$\left(a+b\sqrt2\right)\left(c+d\sqrt2\right)=\color{red}{ac+2bd}+(\color{blue}{ad+bc})\sqrt2$$それ以来$$\begin{bmatrix}a&2b\\b&a\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}c&2d\\d&c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{ac+2bd}&2(\color{blue}{ad+bc})\\\color{blue}{ad+bc}&\color{red}{ac+2bd}\end{bmatrix},$$単に取る$$\psi\left(a+b\sqrt2\right)=\begin{bmatrix}a&2b\\b&a\end{bmatrix}.$$

3
Will Jagy 2020-09-16 03:58.

有理数といくつかのモニック多項式から始める場合 $f(x)$ 程度の $n$既約である場合、2つのフィールドが得られます。1つは$$ \mathbb Q [x] / (f(x)) $$

もう1つ:コンパニオン行列(またはその転置)を取得します $M.$ ケイリー・ハミルトン著、 $f(M) = 0$行列として。次の形式のすべての行列からリングを取得します$$ a_0 I + a_1 M + a_2 M^2 + \cdots + a_{n-1} M^{n-1} $$ さらに、の任意の多項式(任意の次数) $M$そのような表現に等しい。この行列の輪もフィールドです。それらはフィールドと同型です。

あなたの多項式は $x^2 - 2$ そしてそのコンパニオンマトリックスは $$ M = \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$

これはまさに複素数(有理係数)、多項式を与える構造です $x^2 + 1,$

$$ M = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$

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