凸四角形上の特定の点のセットが、その四角形の内側にフィットする楕円の有効な接点であるかどうかをどのように知ることができますか?

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Audus 2020-09-11 18:50.

四辺形の両側に1つのポイントが指定されています。楕円は四辺形に含まれています。

線形遠近法を使用して図面に楕円をプロットするときは、最初に四角形を作成し、次に接点を推定してから、楕円をプロットするので、これに興味があります。それらの接点をチェックして、それらが有効であることを確認する方法があると便利です。

下の画像を例にとると、凸四角形ABCD上の点E、F、G、およびHが与えられた場合、これらすべての点に接する楕円を作成する方法がわかりません。与えられた点のセットが試行錯誤なしに与えられた四辺形に楕円を構築できる/できないかどうかを知るための公式/アルゴリズムの方法はありますか(GeoGebraのようなアプリで)?

2 answers

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Intelligenti pauca 2020-09-12 12:07.

凸四角形は、適切な遠近法変換によって正方形にマッピングできます。次に、四角形に内接する楕円は、正方形に内接する楕円にマッピングされ、その軸は正方形の対角線に沿っています(下の図を参照)。

この場合、接点を通る線 $P$ そして $R$、側面に平行 $CD$ そして $BC$ それぞれ、対角線と交差します $AC$ 同じ時点で $V$。また、接点$P$$Q$ 中心に揃えられます $O$ 正方形の、そして同じことが他の2つの接点にも当てはまります $R$ そして $S$

透視変換は点の共線性を維持するため、接線点のこれらのプロパティは、一般的な凸四角形に内接する楕円の場合に再解釈できます(下の図を参照)。

$CD$$AB$$PV$ 現在同意しています、そして同じことがラインにも起こります $BC$$AD$$RV$。ポイント$POQ$ 整列されているだけでなく $ROS$。したがって、接点を修正すると、他の接点はこれらのプロパティによって一意に決定されます。

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Lorenzo Najt 2020-09-12 11:06.

コメントで述べたように、射影変換を適用して、四角形を正方形に変えることができます。これが機能するのは、楕円を境界を維持する射影変換でヒットした場合、楕円のままになるためです。それで、これからそのケースに対処します。

の4つの側面をしましょう $S$ 示される $S_R, S_L,S_T, S_B$、下付き文字は右、左、上、下を表します。それを仮定しましょう$S_B$ それは $x$-軸; これは後で表記上便利になります。

質問は:与えられた $p_i \in S_i$$i \in \{R,L,T,S\}$、の4辺に接する内接楕円はありますか $p_i$

この方程式を決定する(そして存在する場合は楕円を生成する)アルゴリズムを以下にスケッチします。物語の教訓は、それが線形代数の問題であるということです。

楕円 $E$ 一般式があります: $$a x^2 + by^2 + c xy + dx + ey + f= 0.$$

仮定すると $f \not = 0$、に正規化できます $1$。(射影座標を使用すると、この厄介なケース分析を回避できます。)このケースにいると仮定し、他のケースはあなたに任せます。したがって、方程式は次のようになります。

$$a x^2 + by^2 + c xy + dx + ey + 1= 0.$$

ここには5つの変数があるため、座標を持つ5次元のベクトル空間があることに注意してください。 $(a,b,c,d,e)$

ポイントを考慮してください $p_i = (x_i, y_i)$。場合$p_i \in E$、その後 $a x_i^2 + by_i^2 + c x_iy_i + dx_i + ey_i + 1 = 0.$ ザ・ $x_i, y_i$ は固定数なので、これは変数の線形方程式です $(a,b,c,d,e)$

そのような方程式は4つあります。それらの解のセットは、線形代数で計算できる線(脚注(*)を参照)になります。

ここで、次の条件を調べます。 $E$ は正方形の底辺に接しています。つまり、 $x$-軸。ザ・$x$-軸は次の方程式で定義されます $y = 0$、したがって、方程式を定義する $E$ になります $q(x) = ax^2 + dx + 1 = 0$ に制限するとき $x$-軸。

ここから先に進む1つの方法は、この2次方程式が $x$-二次式の場合の軸 $q$ 判別式が消えた場合に発生する二重根を持ちます。 $d^2 - 4a = 0$。ただし、追加情報があるため、これは無駄です。特に、私たちはそれを知っています$q(x)$ 特定のポイントで接線方向に接触する必要があります $p_B$。特に、次の導関数が必要です。$q$ で消える $x_B$

つまり、もう1つの条件があります。 $q'(x) = 2a x + b$ で消える $x_B$、または $2ax_B + b = 0$

これにより、一般に5つの方程式が得られ、1つの円錐曲線に切り詰められます。これは、希望する楕円である可能性があります。楕円に対応するかどうかを確認するには、次のことができます。

  1. 正方形を(象徴的に)完成させることにより、それが楕円であるかどうかをテストします。
  2. 他の3つの接線条件に対してそれぞれをテストします。
  3. また、4つの辺のそれぞれに制限された楕円が、2次項の前に正しい符号が付いた2次式を与えることを確認することにより、4行すべての右側にあることを確認できます。

円錐曲線がこれらのテストに合格した場合、それはあなたの問題の解決策です。そうでなければ、与えられた仕様の解決策はありません$p_i$

これらのテストは冗長になる可能性が高いと思います。特に、4つの間隔に接する楕円はその内側になければならないと思うので、おそらく3番目の条件を取り除くことができます。

(*)条件が共謀せず、ポイントの悪い選択に対して線形従属になることを証明できると思います。あなたの修正$p_i$。次に、円錐曲線が通過します$p_L$ だがしかし $p_B$。また、通過する円錐曲線があります$p_L$ そして $p_B$、 だがしかし $p_R$。最後に、通過する円錐曲線があります$p_L, p_B, p_R$ だがしかし $p_U$。私はこれらのステートメントを正式に検証しませんでした。放物線と円を使って落書きをしただけなので、この点を再確認します。これらの交点の1つが接線であるという最終的な線形条件を課すことに関しても同じことが言えると思います。

これが正しければ、これらの条件の1つを追加するたびに、必然的にいくつかの円錐曲線が削除されます。つまり、新しい制約を課すと、スペースの次元が低下します。

より代数的で信頼できる議論は、これらの中間条件のそれぞれを達成する円錐曲線のシーケンスを方程式を明示的に構築することです。

備考次のことが当てはまると思います。$x \in S_B$ 接線方向に内接する独特の楕円があります $S$ 含まれています $x$、提供 $x$角にありません。したがって、実際には、制約を満たす楕円の間隔があります。しかし、これについてはよくわかりません。射影幾何学を介して、上記の議論は独自性を与えると思います。通過する楕円を膨らませることについての半分裏付けられた議論を通して、私は存在を確信しました$x$ との対蹠地 $x$ 正方形の中点あたりですが、簡単に形式化できるかどうかはわかりません。

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