同じ色にする必要がある2つの離れた頂点を持つ4つの色付きの三角形分割

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EGME 2020-09-09 05:05.

これは、一般的な平面グラフに関する関連する質問のフォローアップです。この質問では、最大の平面グラフ(三角測量)のみを検討したいと思います。と知られている

  1. 正確に2つの奇数の頂点を持つ三角形分割の4つの色付けでは、奇数の頂点を同じ色にする必要があります。

  2. 一意に色付けされた三角形分割では、隣接していない頂点の一部を同じ色にする必要があります。

問題は、上記の2つの例のように、隣接していない2つの頂点の色が同じになるように強制される他の種類の三角形分割があるかどうかです。これは知られているかどうか?

ありがとうございました。

1 answers

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Misha Lavrov 2020-09-09 07:52.

これは基本的にあなたの最初の質問で答えられました、私が与えた例がたまたま独特に着色可能だったのでそれは曖昧にされただけでした。しかし、これは他の多くの例を構築する方法です。

すべての次数が均一である三角形分割から始めます。(たとえば、八面体グラフから始めましょう。)

隣接していない2つの頂点の間に線を引き、この線が既存のエッジと交差する場所に頂点を追加します。これは(常に!)、正確に2つの頂点が奇数である三角形分割を提供します。

これらの頂点は、私たちが知っているように、どの頂点でも同じ色でなければなりません $4$-着色。ただし、通常、このような三角測量は一意ではありません$4$-着色可能で、実際、ここではそうではありません。

最後に、いくつかの面(任意の面)の3つのコーナーに隣接する新しい頂点を追加するだけです。

現在、2つ以上の奇数の頂点があります(どちらの面を選択したかに関係なく)。ただし、$4$-このグラフの色付けは、 $4$-前のステップでのグラフの色付け、およびその逆(新しい頂点の色は一意に決定されます)。したがって:

  • 私たちが得るグラフは一意ではありません $4$-ユニークなものがなかったので、着色可能 $4$-以前の着色可能なグラフ。
  • 以前は2つの奇数の頂点だけであった2つの頂点は、どの色でも同じ色である必要があります。

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