評価中 $\sum_{a=1}^6\sum_{b=1}^6\sum_{c=1}^6\frac{ab(3a+c)}{2^a2^b2^c(a+b)(b+c)(c+a)}$ 電卓なし?

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HackerJ 2020-09-01 21:44.

計算機なしでこの値を取得する方法はありますか?

$$\sum_{a=1}^6\sum_{b=1}^6\sum_{c=1}^6\frac{ab(3a+c)}{2^a2^b2^c(a+b)(b+c)(c+a)}$$

私は現在AIMEを勉強しています。

2 answers

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Dylan 2020-09-02 09:33.

合計を考えてみましょう $$ S(n) = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} \sum_{c = 1}^{n} \frac{ab(3a + c)}{2^a 2^b 2^c (a + b)(b + c)(c + a)}. $$

重要なのは、次の役割を交換するとどうなるかを調べることです。 $a$$b$、および $c$。合計は、たとえば、$$ \sum_{a = 1}^{n} \sum_{c = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} \frac{ac(3a + b)}{2^a 2^b 2^c (a + b)(b + c)(c + a)}, $$ 私たちが得るものはすべてを置き換えています $b$ とともに $c$、およびすべて $c$ とともに $b$元の合計で。合計の順序を変更することにより、これは$$ S(n) = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} \sum_{c = 1}^{n} \frac{ac(3a + b)}{2^a 2^b 2^c (a + b)(b + c)(c + a)}. $$

可能なすべての順列で同じことを行います $a$$b$、および $c$、および結果の式を一緒に追加します。私たちはそれを得る$$ 6S(n) = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} \sum_{c = 1}^{n} \frac{ab(3a + c) + ac(3a + b) + ab(3b + c) + bc(3b + a) + ac(3c + b) + bc(3c + a)}{2^a 2^b 2^c (a + b)(b + c)(c + a)}. $$

この時点で、小さな奇跡が起こります。それが判明しました$$ ab(3a + c) + ac(3a + b) + ab(3b + c) + bc(3b + a) + ac(3c + b) + bc(3c + a) $$ に等しい $$ 3(a + b)(b + c)(c + a) $$したがって、実際にははるかに単純な式が得られます$$ 6S(n) = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} \sum_{c = 1}^{n} \frac{3}{2^a 2^b 2^c} = 3 \sum_{a = 1}^{n} \frac{1}{2^a} \sum_{b = 1}^{n} \frac{1}{2^b} \sum_{c = 1}^{n} \frac{1}{2^c} $$ など $$ 2S(n) = \left(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^k} \right)^3 = \left(1 - \frac{1}{2^n} \right)^3 $$ そしてついに $$ S(n) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)^3 $$クロード・レイボビッチが気づいたように

3
Claude Leibovici 2020-09-01 22:34.

検討する $$S_n=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\frac{ab(3a+c)}{2^a\,2^b\,2^c\,(a+b)(b+c)(c+a)}$$ と計算 $S_n$ の最初の値について $n$。これはシーケンスを与えます$$\left\{\frac{1}{16},\frac{27}{128},\frac{343}{1024},\frac{3375}{8192}\right\}$$ 分子は立方体であり、分母はの累乗であることがわかります。 $2$

だから、あなたは可能推測ことを$$S_n=\frac {\left(2^n-1\right)^3 } {2^{3 n+1} }=\frac{1}{2} \left(1-2^{-n}\right)^3$$

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