代数群ではない半単純リー群の例?

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No One 2020-09-01 09:53.

どの半単純リー群も代数群に対応できなかった例があるのでしょうか、それとも実際にはすべての半単純リー群が代数であるのでしょうか。

1 answers

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Qiaochu Yuan 2020-09-01 17:35.

最小の例は次のとおりです。 $SL_2(\mathbb{R})$ は、リー代数と同じ表現論を持つ半単純リー群です。 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$。一方、その最大コンパクトは$SO(2)$ したがって、その基本群は $\mathbb{Z}$、そしてそれは $n$-任意の折り畳みカバー $n$; これらのグループのそれぞれは、と同じ表現論を持っています$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ また、これは、それらのすべての有限次元表現が、 $SL_2(\mathbb{R})$

これは、これらのグループのいずれも忠実な有限次元表現を認めていないことを意味します。したがって、それらのいずれも線形代数群の実点にはなり得ません。ザ・$2$-フォールドカバーは、DavidLoefflerがコメントでリンクしているメタプレクティックグループです。

正の方向では、コンパクトリー群についてはを参照してください https://mathoverflow.net/a/16269/290


編集、9/1/20:これは少し簡潔かもしれないので、リー群やカバーリングなどについて私が使用している事実をより明確にします。おそらく、私が以下に言うことのいくつかの完全な強さを必要としないでしょうが、それはとにかく知っておく価値のある有用な文脈とものです。

  • すべての有限次元リー代数 $\mathfrak{g}$ 単連結リー群のユニークな(同型を除いて)リー代数です $\widetilde{G}$。接続されているすべてのリー群$G$ リー代数で $\mathfrak{g}$ この単連結グループによってカバーされます。
  • 場合 $G$ そして $H$ 2つの接続されたリー群であり、微分マップ $\text{Hom}(G, H) \to \text{Hom}(\mathfrak{g}, \mathfrak{h})$ 単射であり、次の場合は全単射です $G$ 単に接続されています。
  • 設定 $H = GL_n(\mathbb{R})$ または $GL_n(\mathbb{C})$、それは前の点の結果としてリー代数が続く $\mathfrak{g}$ そしてその単連結リー群 $\widetilde{G}$ 微分写像という意味で、同じ有限次元表現論(実数または複素数)を持っている $\text{Rep}_f(\widetilde{G}) \to \text{Rep}_f(\mathfrak{g})$ カテゴリの同値です。
  • の表現を与えられた $\mathfrak{g}$、の対応する表現 $\widetilde{G}$ を使用して回復することができます https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map_(Lie_theory) $\exp : \mathfrak{g} \to \widetilde{G}$。指数写像は、次のような意味で関手です。$f : G \to H$リー群の準同型であり、明らかな図式が可換します。これは、のアクションを計算することを意味します$\widetilde{G}$$n$-次元表現 $\rho : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}_n$ 対応する行列をべき乗することができます $\rho(X)$ から $\mathfrak{gl}_n$$GL_n$
  • $G = SL_2(\mathbb{R})$ は単純なリー代数を持つ半単純リー群です $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$。の有限次元表現$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 完全に還元可能であり、既約表現は $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 正確に対称的な力です $S^n(\mathbb{R}^2)$定義する表現の。先験的にこれらの表現は、普遍的なカバーの表現に指数化する必要があるだけです$\widetilde{G} = \widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$、しかし実際にはそれらのすべては $SL_2(\mathbb{R})$ (定義する表現は次のように指数化されるため $SL_2(\mathbb{R})$ およびその他はそれから取得されます)、したがって、の重要なカバーのすべての既約表現 $G$ 被覆マップを介した要因 $G$
  • その結果、 $G = SL_2(\mathbb{R})$ (存在する)忠実な有限次元表現はありません。

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