評価する中心極限定理 $\frac{1}{(n-1)!} \int_0^n e^{-x}x^{n-1}dx$

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Math_and_Stats 2020-09-01 07:42.

中心極限定理を使用して評価する $$ \frac{1}{(n-1)!} \int_0^n e^{-x}x^{n-1}dx$$

私が理解していることから、CLTはiid確率変数の部分和のシーケンスは $S_n = \sum_{i=1}^n$ 分布が収束し(平均を減算して標準偏差で除算することにより標準化されると)、aのCDFに収束します。 $N(0,1)$

考えれば $P(S_n \le x)$ どこ $S_n$ はiidexp(1)RVSの合計であり、CLTによる $P(\frac{S_n - n}{\sqrt{n}} \le x) \Rightarrow \int_{-\infty}^x \frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi}}du$。または同等に、$P(S_n \le x) \approx N(\frac{x-n}{\sqrt{n}})$

しかし、これは私が見つけようとしているものに遠く離れてさえ近くありません。この問題にどのように取り組むべきかよくわからないので、私は混乱しています。

2 answers

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Mark Viola 2020-09-01 12:32.

中心極限定理と確率論に依存せず、実際の分析のみを使用する単純なアプローチを提示することは有益かもしれないと思いました。そのために、先に進みます。

私たちはそれを主張することができます

$$\frac1{n!}\int_0^{n+1}e^{-x} x^n\,dx=\frac1{n!}\int_0^n e^{-x}x^n\,dx+\underbrace{\frac1{n!}\int_n^{n+1}e^{-x}x^n\,dx}_{=O\left(n^{-1/2}\right)}\tag1$$

次に、置換を強制します $x\mapsto n-\sqrt n x$ それを見つけるために

$$\begin{align} \frac1{n!}\int_0^{n+1}e^{-x} x^n\,dx&=\frac{\sqrt{n}}{n!}\int_0^{\sqrt n} e^{-(n-\sqrt n x)}\left(n-\sqrt n x\right)^n\,dx+O\left(n^{-1/2}\right)\\\\ &=\frac{\sqrt{n}(n/e)^n}{n!}\int_0^{\sqrt n}e^{\sqrt n x}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\,dx+O\left(n^{-1/2}\right) \end{align}$$

次に、見積もりがあります

$$e^{\sqrt n x}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n=e^{\sqrt n x}e^{n\log\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)}\le e^{-x^2/2}$$

としてだけれども $\int_0^\infty e^{-x^2/2}\,dx<\infty$、スターリングの公式とともに優収束定理は、

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n!}\int_0^{n+1}e^{-x}x^n\,dx&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{n}(n/e)^n}{n!}\int_0^{\sqrt n}e^{\sqrt n x}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\,dx+O\left(n^{-1/2}\right)\right)\\\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{n}(n/e)^n}{n!}\int_0^{\infty}\xi_{[0,\sqrt n]}(x)e^{\sqrt n x}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\,dx\\+O\left(n^{-1/2}\right)\right)\\\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \lim_{n\to \infty }\left(\xi_{[0,\sqrt n]}(x)e^{\sqrt n x}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\right)\,dx\\\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty e^{-x^2/2}\,dx\\\\ &=\frac12 \end{align}$$

そして、完了です!

3
J.G. 2020-09-01 07:56.

私たちは実際に大きなものを使用しています-$n$ 近似 $S_n\approx N(n,\,n)$ 評価します $P(S_n\le\color{blue}{n})$、したがって、確率は次のように概算されます。 $\tfrac12$

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