評価する $\int_0^{\pi} \frac{\cos m\theta-\cos m \phi}{\cos \theta - \cos \phi} \text{d}\theta$

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Dunkelheit 2020-08-26 22:26.

ハーディの本でダイバージェントシリーズは平等であることが証明されています$$\frac{\cos m\theta-\cos m \phi}{\cos \theta - \cos \phi} \text{d}\theta=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \cos n\theta(\cos m\theta-\cos m \phi)$$$m\in\mathbb{N}$。次に、その平等を統合します$0<\theta<\pi$ (彼は「 $\theta$ 有効であると予想される場合) $$\int_0^{\pi} \frac{\cos m\theta-\cos m \phi}{\cos \theta - \cos \phi} \text{d}\theta=\pi \frac{\sin m\phi}{\sin \phi}$$その結果はどのように達成されますか?私は(シリーズと積分を交換する可能性を証明しなかったので)ずさんな方法で、このアプローチをヴェルナーの恒等式で試しました$$\int_0^\pi 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \cos n\theta(\cos m\theta-\cos m \phi) \text{d}\theta=$$ $$2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \int_0^\pi (\cos n\theta \cos m\theta-\cos n\theta\cos m \phi) \text{d}\theta=$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \int_0^\pi (\cos (n\theta+m\theta)+\cos (n\theta-m\theta) -\cos (n\theta+m\phi) -\cos (n\theta-m\phi)) \text{d}\theta=$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \left[\frac{\sin (n\theta+m\theta)}{n+m}+\frac{\sin(n\theta-m\theta)}{n-m} -\frac{\sin(n\theta+m\phi)}{n} -\frac{\sin(n\theta-m\phi)}{n}\right]_{\theta=0}^{\theta=\pi}=$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\phi}{\sin \phi} \left[\frac{\sin (n\pi+m\pi)}{n+m}+\frac{\sin(n\pi-m\pi)}{n-m} -\frac{\sin(n\pi+m\phi)}{n} -\frac{\sin(n\pi-m\phi)}{n}\right]$$そして、ここで私は立ち往生しています。どんな助けでも大歓迎です。

1 answers

3
Nguyễn Quân 2020-08-27 03:20.

これが私の問題へのアプローチです。複雑な分析を考えるのは自然なことです。しましょう$\sqrt{-1}=i$。今、私たちはそれを証明します:$$I_m:=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos mx}{\cos x - \cos \phi}\mathrm{d}x = \pi\cdot \frac{\sin m\phi}{\sin \phi}=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos mx}{\cos x - \cos \phi}\mathrm{d}x$$$$=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{imx}+e^{-imx}}{\left(e^{ix}-e^{i\phi}\right)\left(e^{ix}-e^{-i\phi}\right)}\mathrm{d}x$$

しましょう $z=e^{ix}$$\mathrm{d}z = ie^{ix}\mathrm{d}x$。したがって:$$I_m = \frac{-1}{4\sin\phi}\left(\int_{\vert z\vert=1}\frac{z^m}{\left(z-e^{i\phi}\right)\left(z-e^{-i\phi}\right)}\mathrm{d}z-\int_{\vert z\vert=1}\frac{z^{-m}}{\left(z-e^{i\phi}\right)\left(z-e^{i\phi}\right)}\mathrm{d}z\right)=A_m-B_m$$ どこ: $$A_m:=\frac{-1}{4\sin\phi}\int_{\vert z\vert=1}\frac{z^m}{\left(z-e^{i\phi}\right)\left(z-e^{-i\phi}\right)}\mathrm{d}z$$ $$B_m:=\frac{-1}{4\sin\phi}\int_{\vert z\vert=1}\frac{z^{-m}}{\left(z-e^{i\phi}\right)\left(z-e^{-i\phi}\right)}\mathrm{d}z$$

私たちはそれを示す必要があります $B_m = 0, \forall m \in \mathbb{N}$。それは明らかです $n=1$ それを示す必要があるだけです: $$J_m:=\int_{\vert z \vert = 1} \frac{1}{z^m (z-z_1)}\mathrm{d}z = 0, \forall m\in \mathbb{N}, z_1 = e^{i\phi}. $$ 誘導により、 $m=1$、 我々は持っています $J_1= 0$。と仮定する$J_m =0$ ために $m=n-1$。私たちはそれを示す必要があります$J_n =0$。以来 $\frac{1}{z^m}, m>1$ 部分分数分解による有理型関数です。 $$J_n=z_1^{-1}\int_{\vert z \vert = 1}\frac{1}{z^{n}} - \frac{1}{z^{n-1}(z-z_1)}\mathrm{d}z=0 - J_{n-1}=0.$$ この結果を取得することにより、次のようになります。 $B_m=0$。最後に、 $A_m$ 留数定理により、私たちを導きます: $$I_m:=A_m=\frac{-2\pi i}{4\sin\phi}\left(e^{im\phi}-e^{-im\phi}\right)=\pi \frac{\sin m\phi}{\sin \phi}$$ 次に、結果は次のように簡単に続きます。 $$\int_0^{\pi} \frac{\cos m\theta-\cos m \phi}{\cos \theta - \cos \phi} \text{d}\theta=I_m - I_0 =\pi \frac{\sin m\phi}{\sin \phi}$$

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