の配布 $(X_1-\mu)^T\Sigma^{-1}(X_1-\mu)$カイ二乗ですか?[複製]

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CCZ23 2020-08-26 18:11.

場合 $(X_i)_{i=1}^{20}\sim N_6(\mu,\Sigma),$ 次に、の分布を見つけます

$$ (X_1-\mu)^T\Sigma^{-1}(X_1-\mu)$$

解決策は $\chi^2_6,$しかし、誰かがその理由を示すことができますか?標準正規変数の合計自体がカイ2乗であることを知っているだけですが、これにどのようにアプローチするかはわかりません。

1 answers

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Michael Hardy 2020-08-26 18:23.

スペクトル定理(の有限次元バージョン)には、正定値対称実数行列を示す簡単な結果があります。 $\Sigma$ 正定値対称の実平方根を持っています $\Sigma^{1/2},$ との逆 $\Sigma^{1/2}$ の正定値対称実平方根です $\Sigma^{-1},$ そして私たちはそれを示します $\Sigma^{-1/2}.$ そう $$ \Sigma^{-1/2} (X_1-\mu) \sim \operatorname N_6(0, I_6). $$ したがって、成分の二乗和の分布は次のようになります。 $\chi^2_6.$

ただし、これは次の場合には機能しません $\Sigma$特異です。しかし、$\Sigma$ は非負である-明確で対称的であり、実際のエントリがあります $(X_1-\mu)^T \Sigma^{-1} (X_1-\mu) \sim \chi^2_{\operatorname{rank}\Sigma}$ (どこ $\text{“ } \Sigma^{-1}\text{ ''}$ 一種の一般逆行列を示し、その性質の詳細はここでは省略されています)。

ですから、質問は次のとおりです。スペクトル定理に精通していますか?

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