グルサの定理の証明についての疑い

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Leonardo 2020-08-11 04:31.

グルサの定理:

$f\colon A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ の正則関数 $A$ オープンセット。

$\Delta_0(z_1^{(0)},z_2^{(0)},z_3^{(0)})$ に含まれる三角形です $A$ 頂点の $z_1^{(0)},z_2^{(0)},z_3^{(0)} \in A$

次に、の複素積分 $f$ 三角形の周囲には $\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z=0$

それを示すために、分割します $\Delta_0$ 4つの三角形に $\Delta^1,\Delta^2,\Delta^3,\Delta^4$ 写真のように:

どこ $E,D,F$ それぞれの側の中点です。

明らかに $\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z=\sum_{i=1}^4 \oint_{\partial\Delta^i} f(z)\,\text{d}z$、 その後 $|\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z| \le \sum_{i=1}^4 |\oint_{\partial\Delta^i} f(z)\,\text{d}z|$

だから三角形があります $\Delta_1 \in \{\Delta^1,\Delta^2,\Delta^3,\Delta^4\}$ そのような $|\oint_{\partial\Delta_1} f(z)\,\text{d}z| \ge \frac{1}{4}|\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z|$

上記の手順を繰り返して、 $\Delta_1$、 等々...

数学的帰納法により、ネストされた三角形のシーケンスを見つけることができます $\Delta_0 \supseteq \Delta_1 \supseteq \dots \supseteq \Delta_n \supseteq \dots$ そのような:

$|\oint_{\partial\Delta_n} f(z)\,\text{d}z| \ge \frac{1}{4^n}|\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z|$

これは私の教科書に書かれていることです(私はRudinを使用していますが、このアプローチはLangとAhlforsでも使用されていますが、三角形は長方形に置き換えられています)。

私の質問は、このようなシーケンスが存在することを示すために、ここで数学的帰納法をどのように厳密に使用できるかということです。このアプローチは私には十分に正確ではないようです。

この証明を「改善」する私の試みは次のとおりです。

再帰的に定義しましょう $\Delta_{n+1} \in \Big\{\Delta\left(z_1^{(n)},\frac{z_1^{(n)}+z_2^{(n)}}{2},\frac{z_1^{(n)}+z_3^{(n)}}{2}\right),\Delta\left(\frac{z_1^{(n)}+z_2^{(n)}}{2},z_2^{(n)},\frac{z_2^{(n)}+z_3^{(n)}}{2}\right),$

$\Delta\left(\frac{z_1^{(n)}+z_3^{(n)}}{2},\frac{z_2^{(n)}+z_3^{(n)}}{2},z_3^{(n)}\right),\Delta\left(\frac{z_1^{(n)}+z_2^{(n)}}{2},\frac{z_2^{(n)}+z_3^{(n)}}{2},\frac{z_1^{(n)}+z_3^{(n)}}{2}\right)\Big\}$

そのような

$|\oint_{\partial\Delta_{n+1}} f(z)\,\text{d}z| \ge \frac{1}{4}|\oint_{\partial\Delta_n} f(z)\,\text{d}z|$

今(ネストされた三角形を明示的に定義した後)、次のことを示す数学的帰納法を使用できます。

$\forall \,n \in \mathbb{N} \quad |\oint_{\partial\Delta_n} f(z)\,\text{d}z| \ge \frac{1}{4^n}|\oint_{\partial\Delta_0} f(z)\,\text{d}z|$

私は完全に間違っていますか?ありがとうございました!

1 answers

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Zuy 2020-08-11 04:48.

いくつかのタイプミスがない限り、あなたの証明は絶対に正しく、実際に元の証明よりも厳密です。

ただし、数学では、最初のステップを実行するだけで、(それほど厳密ではありませんが)このプロセスを帰納的に続行できると言うことがよくあります。数学者は、証明の読者が彼の証明をより詳細に解釈する能力を持っていると信じています。この「ずさんな」プルーフライティングの方法は、読みやすさを大幅に向上させます。あなたの証明は正しいですが、読むのははるかに難しく、新しいアイデアは含まれていません。

私自身学生として、読みやすさのために厳密さをあきらめても大丈夫なのかを知るのは本当に難しいと思います。しかし、それは時間とともに良くなります!

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