の解釈 $\nvdash$

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Kelly 2020-08-09 20:27.

の使用について質問があります $\nvdash$$\nvdash$ 通常、メタレベルのシンボルとして使用されます。

しましょう $A\vdash\perp$、演繹定理により、 $\vdash A\rightarrow\perp$、これは $\vdash\neg A$ (それ $A$ false)。

私の質問は:私たちが書くときそれはどういう意味ですか $A\nvdash\perp$?私がそれを言っていると解釈すれば$\perp$ からフォローしていません $A$、矛盾はないということと同じようです $A$。しかし、それはそれを示唆しています$A$真であるか、少なくとも偽ではありません。しかし、その場合、違いはありません$A\nvdash\perp$ そして $\vdash\neg(A\rightarrow\perp)$。だから、私は間違っているに違いない。

次に、 $A\nvdash\perp$、それは可能であるはずです $A$決定不可能ですが、それは私にとって些細なことではありません。誰かがそれを簡単に説明できますか?ありがとう!

2 answers

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HallaSurvivor 2020-08-10 03:50.

あなたは正確に正しいです- $A \not \vdash \perp$ という意味です $A$一貫性があります。つまり、を使用して矛盾を導き出すことはできません$A$仮説として。しかし、「それが間違っていることを証明できない」と「それが本当である」には違いがあります!

これが簡単な例です。群論を使ってみましょう。次に

$$ xy = yx \not \vdash \perp$$

どうしてこれなの?なぜなら$xy = yx \vdash \perp$、それはどのグループも満足できないことを意味します $xy = yx$(余分な公理は一貫性がないため)。もちろん、アーベル群は存在し、主張は続きます。

しかし、これはそれを意味するものではありませ$xy = yx$本当です!私たちはそれを示しただけです$xy=yx$ 常に偽であるとは限りません

これはまさに「決定不能」プロパティとは何かです。複雑でも怖いものでもありません。私たちには理論があり、その理論のいくつかのモデルがあります(この場合はグループ)。の「決定不能性」$\varphi$つまり、理論だけを見ると、次のことを判断できないということです。$\varphi$すべてのモデルに当てはまります。そしてそれは、異なるモデルの意見が異なるために正確に起こります。これはすべて完全性定理に戻ります。

証明可能性はすべてのモデルで真実と同じです

人々(私自身を含む)が決定不可能なプロパティに混乱する理由は、通常、特定のモデルを念頭に置いている設定でのみそれらについて議論するためです。想像してみてください$\mathbb{Z}$私たちがこれまで一緒に働いた唯一のグループでした。そうすると、想像するのが難しいかもしれません。$\mathbb{Z}$s "(これはグループを意味します)ここで $xy=yx$失敗します。またはさらに、「についての事実があるかもしれないこと$\mathbb{Z}$「群の公理からは証明できない!

しかし、これはまさに算術で起こることです。「理論」全体を語るとき、PAやZFCなどの優れたモデルを念頭に置いています。論理の大部分は、1つの「実際の」モデルに関するあなたの意見を他のすべてのモデルから切り離すことを学ぶことです。ただし、これを行うと簡単になります


これがお役に立てば幸いです^ _ ^

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lemontree 2020-08-10 03:49.

あなたは正しいです:間に違いがあるはずです $A \nvdash \bot$ そして $\vdash \neg (A \to \bot)$、 そこには。

お気づきのように $A \to \bot$ 略語の意味と論理的に同等であると見なされます $\neg A$、 そう $\neg(A \to \bot)$ と同等です $\neg \neg A$、そしてこれは今度は同等です(そしてそれから導出可能です) $A$。あれは、$\vdash \neg(A \to \bot)$ 含意(システムの意味的完全性を前提とする) $\vdash A$

$A \vdash \bot$ 矛盾はから導き出すことができることを意味します $A$; それを意味する健全性を仮定する$A$ 矛盾している、つまりすべての解釈の下で誤りです。 $A \nvdash \bot$ これは当てはまらないと言っているので、 $A$満足できる、すなわち真すなわち、すべての解釈の下で偽のない下の少なくとも一つの解釈。
場合$A$すべての解釈の下で真実であった、それはトートロジーであり、完全性を仮定すると、それは導出可能であるはずです:$\vdash A$、および上記の同等物を使用して、 $\vdash \neg(A \to \bot)$

ここでは、解釈の定量化が重要です。どの解釈の下でAが「真」であると言うのは意味がありません。なぜなら、真理は解釈に関連してのみ定義されるからです(解釈=命題論理の場合の評価関数、および述語論理のドメインと解釈関数を持つ構造) 。

しかしながら、 $A$ 充足可能(=「常に偽ではない」)であることは、それを意味するものではありません $A$トートロジーである(=「常に真」):すべてではないが一部の解釈では真である可能性があります。したがって、矛盾の導出不可能性から、再び証明システムを健全であると見なす$A$ の否定の導出可能性を推測することはできません $A \to \bot$ (これは、 $A$):
$A \nvdash \bot \ \nRightarrow \ \vdash \neg(A \to \bot)$、2つはお互いを除外しませんが($A$ 導出可能である可能性があり、その場合も矛盾を導出することはできません)。

両方の場合 $A \nvdash \bot$ (すなわち $\nvdash \neg A$)および $\nvdash \neg(A \to \bot)$ (すなわち $\nvdash A$)、それから私たちは確かにその場合があります $A$決定不可能または理論から独立しており、証明システムは構文的に不完全です。

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