そのセットを証明する $\pi_n(X,v)$ グループです(Goerss and Jardine Theorem 7.2)

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Isomorphism 2020-08-06 02:57.

Goerss andJardineの著書SimplicialHomotopy Theoryの定理7.2で、著者は、同一性法と逆法が集合に当てはまることを示すように求めています。 $\pi_n(X,v)$。私はこれらの声明を証明することができません。

逆についての質問がありました https://math.stackexchange.com/questions/3372841/showing-that-pi-nx-v-satisfies-inverse-axiom、しかし答えはありません。そして、私はこれを詳細に説明する代替の参考文献を見つけることができませんでした。

どんな助けでも大歓迎です。


私の考え:

グループ操作は次のように定義されます。 $n$ シンプレックス $a$ そして $b$ (に $X$)1つは作成します $n+1$ 次元 $n$-ホーン $(v,v,...v,a,\, ,b)$$X$ そしてそれを埋めます $\omega$ (以来 $X$カン複合体と見なされます)。次に、の乗算$a$ そして $b$ によって新しく塗りつぶされた面として定義されます $\omega$、すなわち $[a\cdot b] = [d_n \omega]$

同一性法を証明するために、私は設定する必要があります $b = v$ そしてそれを示す $[a]\cdot [v] = [a]$。しかし、これは$\omega$ そのような $\partial \omega = (v,v,...,a,d_n \omega,v)$、ホモトピーを見つけなければならない $d_n\omega \to a$。私はいくつかを事前に構成できると思っていました$\triangle^n \times \triangle^1 \to \triangle^{n+1}$$\omega$必要なホモトピーを取得します。しかし、私は先に進むことができません。

逆公理の場合、著者は、左の乗算マップが全単射であることを示すように求めています。どこから始めればいいのかわからない。

1 answers

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jgon 2020-08-12 06:24.

身元

あなたのアイデアも機能しますが、製品が明確に定義されていることがわかっていると仮定すると、ID要件のより簡単な証明があります。

まず、簡単な証明。他の証拠は投稿の最後にあります。取る$\omega = s_na$、顔があります $(v,v,\ldots,v,a,a)$ そして $\omega=s_{n-1}a$、顔があります $(v,v,\ldots,a,a,v)$ 左右の同一性法を証明するため。

ここでは、この乗算が明確に定義されており(つまり、ホモトピークラスの代表の選択やホーンフィラーの選択に依存しない)、結合的(左/右の逆数が等しい場合にのみ必要)であることをすでに知っていると思います。

これらの仮定を考えると、実際にはGoerssとJardineによって提案されたものよりも簡単な証拠があると思うので、代わりにこの証拠を示します。(おそらく私は間違いを犯しています。)

による左右の乗算 $[a]$どちらも全射です。左乗算の場合、与えられたと仮定します$[a]$ そして $[c]$、そして私たちは見つけたい $[b]$ そのような $[a]\cdot [b]=[c]$。次に、フィラーを選択できます$\omega$ のために $\Lambda^{n+1}_{n+1}$ $(v,v,\ldots,v,a,c,-)$。取る$b=d_{n+1}\omega$、および $\omega$ を示す $[a]\cdot[b]=[c]$、乗算が明確に定義されていると仮定します。

本質的に同じ証明は、正しい乗算も全射であることを示しています。したがって、要素があります$[b]$ そして $[b']$ そのような $[a]\cdot [b]=[v]=[b']\cdot[a]$、これは $[b]=[b']$ (これは結合性を使用する場所です)、および $[a]$ 反転可能です。

アイデンティティのための明示的なホモトピー

この議論には、製品が事前に明確に定義されていると想定しないという利点があることに注意してください。

あなたのアイデアを機能させるために、次のことを行って明示的なホモトピーを構築することができます。構築することでそれを視覚化する方が簡単な場合があります$\Delta^n\times \Delta^1$ から $\omega$ と縮退の束。

念のため、 $(n+1)$-シンプレックス $\Delta^n\times \Delta^1$ 頂点があります $(0,0),(1,0),\cdots(n,0),(n,1)$$(0,0),\cdots, (n-1,0),(n-1,1),(n,1)$、 等々。がある$n+1$ これらのうち、これらにラベルを付けましょう $(n+1)$-シンプレックスとして $H_0,\ldots,H_n$ その順番で。

$H_i$ 頂点があります $(0,0),\ldots,(n-i,0),(n-i,1),\ldots,(n,1)$、だから私たちはそれを持っています $H_i$ そして $H_{i+1}$ 頂点と顔を共有する $(0,0),\ldots,(n-i-1,0),(n-i,1),\ldots,(n,1)$。したがって、互換性の条件があります。$d_{n-i}H_i=d_{n-i}H_{i+1}$

今取る
$H_0=s_nd_n\omega$$H_{1}=\omega$、および $H_i = s_{n-i}a$ ために $i>1$

互換性の条件を確認して、 $d_nH_0=d_ns_nd_n\omega = d_n\omega=d_nH_1$$d_{n-1}H_1=d_{n-1}H_1=a=d_{n-1}s_{n-2}a=d_{n-1}H_2$、および $i>1$$d_{n-i}H_i=d_{n-i}s_{n-i}a=a=d_{n-i}s_{n-i-1}a=d_{n-i}H_{i+1}$

また、 $d_{n+1}H_0=d_{n+1}s_nd_n\omega=d_n\omega$、および $d_0H_n = d_0s_0a=a$

したがって、ホモトピーを $d_n\omega$$a$。さらに、残りの面がすべてであることを確認するのは難しくありません$v$、したがって、これはシンプレックスの境界を保持するホモトピーです。

他のアイデンティティは同じ考えですが、今はそれが与えられている点が異なります $\omega$ 境界がある $(v,v,\ldots,v,d_n\omega,a)$、だから私たちは取る $H_0=\omega$$H_i=s_{n-i}d_n\omega$ ために $i > 0$、そして今、私たちはからホモトピーを取得します $a$$d_n\omega$

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