スペルのような方程式をどのように解くのですか?

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Joshua Wu 2020-08-03 16:50.

私はすべての解決策を見つける必要があります $(x,y)∈Z^2$ ペルのような方程式に $x^2-21y^2= 4$

上記の問題を解決するために使用した方法:-

ペル方程式を解きました $x^2-21y^2= 1$ そして、方程式の可能な解を計算し、さらに上記の方程式に最初の方程式を掛けました。 $x^2-21y^2= 4$

しかし、私はまだ私が次に何をすべきかを理解することができませんか?誰かがこの問題で私を助けることができますか?

2 answers

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Will Jagy 2020-08-04 01:48.

この絵の方法はで紹介されています http://www.maths.ed.ac.uk/%7Eaar/papers/conwaysens.pdf さらに、 https://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/TN/TNbook.pdf。による直感的な本もありますhttp://bookstore.ams.org/mbk-105/ たくさんの写真があります。

これは、基本領域の解と自己同型ジェネレーターを示す地形図です。整数列ベクトルとして、すべての(まあ、基本的な)ソリューション$x^2 - 21 y^2 = 4$ です $$ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 23 \\ 5 \end{array} \right) \; \; . \; \; $$ 3つのそれぞれについて、任意に何度も乗算します $$ A = \left( \begin{array}{cc} 55 & 252 \\ 12 & 55 \\ \end{array} \right) \; \; . \; \; $$ 最初の3つのそのようなベクトルは $$ \left( \begin{array}{c} 110 \\ 24 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 527 \\ 115 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 2525 \\ 551 \\ \end{array} \right) \; \; . \; \; $$

次の3つのそのようなベクトルは $$ \left( \begin{array}{c} 12098 \\ 2640 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 57965 \\ 12649 \end{array} \right) \; \; , \; \; \left( \begin{array}{c} 277727 \\ 60605 \\ \end{array} \right) \; \; . \; \; $$

別の言い方をすれば、 $x_n$ そして $y_n$ 2つの順序付けられたシーケンスで、 $$ 2, 5, 23, 110, 527, 2525, 12098, 57965, 277727, 1330670, 6375623, 30547445, \ldots $$ $$ 0, 1, 5, 24, 115, 551, 2640, 12649, 60605, 290376, 1391275, 6665999, \ldots $$ ケイリーハミルトンは私たちに話します $$ x_{n+6} = 110 x_{n+3} - x_n , $$ $$ y_{n+6} = 110 y_{n+3} - y_n . $$

うーん。4は21の平方根の半分よりも大きいため、連分数がすべての解を示すとは限りませんでしたが、今回は幸運です。

ルービン教授が説明した方法 https://math.stackexchange.com/questions/2215918/continued-fraction-of-sqrt67-4/2216011#2216011

$$ \sqrt { 21} = 4 + \frac{ \sqrt {21} - 4 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {21} - 4 } = \frac{ \sqrt {21} + 4 }{5 } = 1 + \frac{ \sqrt {21} - 1 }{5 } $$ $$ \frac{ 5 }{ \sqrt {21} - 1 } = \frac{ \sqrt {21} + 1 }{4 } = 1 + \frac{ \sqrt {21} - 3 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {21} - 3 } = \frac{ \sqrt {21} + 3 }{3 } = 2 + \frac{ \sqrt {21} - 3 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {21} - 3 } = \frac{ \sqrt {21} + 3 }{4 } = 1 + \frac{ \sqrt {21} - 1 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {21} - 1 } = \frac{ \sqrt {21} + 1 }{5 } = 1 + \frac{ \sqrt {21} - 4 }{5 } $$ $$ \frac{ 5 }{ \sqrt {21} - 4 } = \frac{ \sqrt {21} + 4 }{1 } = 8 + \frac{ \sqrt {21} - 4 }{1 } $$

単純な連分数タブロー:
$$ \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & 4 & & 1 & & 1 & & 2 & & 1 & & 1 & & 8 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 4 }{ 1 } & & \frac{ 5 }{ 1 } & & \frac{ 9 }{ 2 } & & \frac{ 23 }{ 5 } & & \frac{ 32 }{ 7 } & & \frac{ 55 }{ 12 } \\ \\ & 1 & & -5 & & 4 & & -3 & & 4 & & -5 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 21 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 4 }{ 1 } & 4^2 - 21 \cdot 1^2 = -5 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 5 }{ 1 } & 5^2 - 21 \cdot 1^2 = 4 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 9 }{ 2 } & 9^2 - 21 \cdot 2^2 = -3 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 23 }{ 5 } & 23^2 - 21 \cdot 5^2 = 4 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 32 }{ 7 } & 32^2 - 21 \cdot 7^2 = -5 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 55 }{ 12 } & 55^2 - 21 \cdot 12^2 = 1 & \mbox{digit} & 8 \\ \end{array} $$

この後も、自己同型行列を任意に何度も適用する必要があります...

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poetasis 2020-10-15 11:32.

与えられた $x^2-21y^2= 4$ 見える $(5,1)$ 簡単な解決策として $5^2-21= 4$。別の観察は

$$x^2-21y^2= 4\implies \frac{x^2-4}{21}=y^2=\frac{x-2}{p}\cdot\frac{x+2}{q}\quad \text{ where }\quad p|x-2\quad\land\quad q|x+2$$

の要因 $21$ です $1,3,7,21$ 補因子を試す $(1,21)$ xとは何かについて矛盾する答えが得られます。

$$x-2=1\implies x=3\quad \land \quad x+2=21\implies x=19 \lor\\ x-2=21\implies x=23\quad \land \quad x+2=1\implies x=-1$$

しかし、他の2つの補因子は、xとは何かについて一貫した結果をもたらします。

$$x-2=3\implies x=5\quad \land \quad x+2=7\implies x=5$$ そしてこれは、乗算されて正方形を生成する整数を持ちたいという私たちの願望に適合します。

$$\frac{x-2}{3}\cdot\frac{x+2}{7}=\frac{5-2}{3}\cdot\frac{5+2}{7} =\frac{3}{3}\cdot\frac{7}{7}=\frac{21}{21}=1=y^2$$ このデモンストレーションでは正の整数のみが使用されていますが、結果は $(-5,-1)$ 乗算すると、それらは正になるからです。

$$\therefore x^2-21y^2= 4\implies x=\pm5\quad y=\pm 1 $$

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