次の接円チェーンを指定して、チェーンの次の円を描画します

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hellofriends 2020-08-01 19:32.

チェーンは黄色い円からです。

私が欲しいのは、その前にあるすべての円を指定して、次の黄色い円を描く方法です。

私は最初の円を描く方法を知っています $(P_0Q_0X)$

私は(写真では名前のない)連絡先を知っています $n-th$ との円 $n+1-th$ 1つはを中心とする円上にあります $H = P_0Q_0 \cap BC$ 通過する $C$

私は線を知っています $P_nQ_n$ すべてが会う $H$

私は大腿四頭筋を知っています $P_nP_{n+1}Q_{n+1}Q_n$ 周期的です。

前の円を考えると、次の円を作成する簡単な方法をまだ見つけることができません.1つまたは2つの反転がトリックを実行できることは知っていますが、反転を探す誘惑を避けたいと思います。

証明できませんが、サークルは知っています $P_nQ_nC$ に接している $BC$$C$

編集:また、この特定の問題から対称性を示すことができることを確認できない限り、一般的なアポロニウスの解決策を使用しないでください。例:2つの円の間の接触点が、を中心とする円上にあることがわかっているため$H$ 通過する $C$ 完全なものは必要ありません $CCC$ しかし、私たちは使用することができます $PCC$ (もちろん、皆さんはもっと単純化したものを示すことになっています)

2 answers

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brainjam 2020-08-06 07:10.

便宜上、図をここにコピーします。中心のある円を参照します$L$ 青い円と中心のある円として $B$ 白い円として。

前の円を前提として、空白の黄色の円を見つけようとしています $P_3Q_3C_3$、 どこ $C_3$ 名前のない連絡先です。

反転を使用した構築: 円の場合$c$ ポイントを通して $P_n,Q_n,C$、反転できます $P_{n-1}$ そして $Q_{n-1}$$c$ 取得するため $P_{n+1}$ そして $Q_{n+1}$。また、連絡先を作成できるとおっしゃいました。したがって、最初の2つの円が作成されたら、残りの円を作成するために飛躍することができます。

これを表示するには、図を中心の円で反転します $C$

:反転を使用していない建設レッツを$L'$ 青い円の上半分の点になります。 $L'L$ に垂直です $BO_3$。次に、$Q_4$ のもう一方の交差点になります $L'P_3$ 青い円で。

同様に、 $B'$ 白い円の下半分の点になります。 $B'B$ に垂直です $LO_3$。次に、$P_4$ のもう一方の交差点になります $B'Q_3$ 白い円で。

これで、空白の黄色い円が3点あるので、円とその中心を作成できます。

注1:これはエップシュタインの構造の適応ですhttps://www.ics.uci.edu/%7Eeppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html そして本当にただ $PCC$アポロン的構造。この問題は、双曲線三角形の内心を見つけることと同じです。バラガーとコントロビッチのhttps://arxiv.org/pdf/1704.08747.pdf 構造がさらに短いと主張していますが、私はそれを試していません。

注2:あなたはその円を証明することができます$P_nQ_nC$ に接している $BC$ を中心とする円で反転することによって $C$。それらは垂直線にマッピングされます。

2
YNK 2020-08-08 00:38.

ポイントを使用します $H$そして、チェーンの隣接する円のすべての接触点を通過する円。これは、OPが彼の投稿で言及しました。ところで、$H$ セグメント上にあります $LB$ の距離 $\frac{a}{6}$ ポイントから離れて $L$

2つのエンドポイントでマークされた前述の円を描くことから建設を開始します $C$ そして $D$ 中心部は $H$。さらに、その半径はに等しい$HM_{01}$。ポイントを覚えておいてください$M_{01}$現時点ではすでに利用可能です。この円は円を切ります$O_1$$M_{12}$。線を引いて延長する$O_1 M_{12}$。チェーンの求められる円の中心がこの線上にあることを私たちは知っています。

次に、2本の線を引きます $M_{12}H$ そして $O_1L$。この線$O_1L$ 接点を通過します $Q_1$青と黄色の円の。次に、に垂直な線を引きます$O_1L$$Q_1$ 交差する $M_{12}H$$N$。半径のある補助円を作成します$Q_1N$ そしてその中心を $N$。この円はで青い円と出会う$Q_2$。この線$Q_2N$青い円と円チェーンの求められているメンバーの共通の接線です。さらに、$Q_2$これらの2つの円の接点です。したがって、求められる円の中心は、線の延長部分にあります。$Q_2L$

これで、求められている円の中心を含む2本の線ができました。 $O_1 M_{12}$ そして $Q_2L$。したがって、ポイント$O_2$これらの2つの線が交わる場所は、サークルチェーンの次のメンバーの中心です。構築を完了するには、半径で円を描きます$O_2Q_2$ または $O_2M_{12}$ 取る $O_2$ その中心として。

$\underline{\mathrm{Added\space at\space OP’s\space Request\space …}}$

3つの円(たとえば、緑、黄、青の円)が外部で互いに接触する幾何学的構成には、固有の点があります(この場合は $N$)、3つの共通の接線が一致します。したがって、この点を取得するために、3つの一般的な接線のいずれか2つを描画できます。言い換えると、任意の2つの共通の接線の交点(例:$NM_{12}$ そして $NQ_1$)この点を教えてくれます。それが私たちがポイントを獲得した方法です$N$そもそも。使用する$Euclid\space Theorem\space 59$、この点から円のペアの各接触点までの3つの距離が等しいことを示すことができます。そのため、半径のある補助円を作成しました$Q_1N$ (または $NM_{12}$)そしてその中心を $N$。この円は青い円をでカットします$Q_2$ 3番目の共通接線を与える $NQ_2$。これで、黄色の円に接する一意の円が存在することがわかりました。$M_{12}$ と青い円 $Q_2$外部的に。この円の中心は、2本の線の交点にあります$O_1 M_{12}$ そして $Q_2L$。この緑色の円の半径は次のように選択されます$O_2 Q_2$ 円周をポイントに通す $Q_2$

ただし、取得した緑色の円が内部で赤色の円に接していることをまだ明示していないため、話はここで終わりではありません。これは、三角法を使用して証明できます。しかし、最初に、次の議論を提起したいと思います。緑の円が切れたり、赤の円に触れなかったりした場合、この問題は解決しません。黄色の円に触れているときに、赤の円に内側で触れ、青い円に外側に触れている別の円が見つからないためです。$M_{12}$ 外部的に。

証明の投稿をご希望の場合はお知らせください

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