ShuがWENOスキームに使用する滑らかさインジケーターの明示的な式はありますか?

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Yuki.F 2020-07-26 05:38.

読んでいます https://www3.nd.edu/%7Ezxu2/acms60790S13/Shu-WENO-notes.pdf1次元WENO再構成を構築し、式(1)に遭遇しました。2.61: $$ \beta_r = \int_{x_{i - 0.5}}^{x_{i + 0.5}} (\Delta x)^1 \cdot \left[\frac{dp_r(x)}{dx}\right]^2 + (\Delta x)^3 \cdot \left[\frac{d^2p_r(x)}{dx^2}\right]^2 + (\Delta x)^5 \cdot \left[\frac{d^3p_r(x)}{dx^3}\right]^2 + \cdots + (\Delta x)^{2k - 3} \cdot \left[\frac{d^{k - 1}p_r(x)}{dx^{k - 1}}\right]^2 \,dx $$

これ $p_r(x)$式から来ます。2.19。誰かが式のすべての導関数の明示的な式を知っていますか?2.61?数式は、アルゴリズムを作成するのに非常に役立ちます。

1 answers

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uranix 2020-07-27 08:35.

画像から始めましょう($k=3$、WENO5スキーム)

多項式 $p_r(x), r = 0, \dots, k-1$ ステンシルでそれぞれを定義 $S_r$ 次の連立方程式を解くことによって得られます $$ \frac{1}{\Delta x}\int_{x_{j-1/2}}^{x_{j+1/2}} p_r(x) dx = v_{j}, \qquad j = i-r, \dots, i-r+k-1 $$ ここに $v_j$ のセル平均値を示します $v(x)$$[x_{i-1/2}, x_{i+1/2}]$。再構築しようとしています$v(x)$ オン $S_r$ そのセル平均から $p_r(x)$

各システムには $k$ 方程式と $k$ の未知の係数 $p_r(x)$。方程式を少し単純化するために、多項式の引数の無次元形式を使用します。 $$ p_r(x) = \tilde p_r\left(\frac{x - x_i}{\Delta x}\right)\\ \tilde p_r(\xi) = p_r(x_i + \xi \Delta x) $$

方程式がより明確になります。 $$ \int_{j-1/2}^{j+1/2} \tilde p_r(\xi) d\xi = v_{i+j}, \qquad j = -r, \dots, k-r-1 $$ 滑らかさの指標もそうです $\beta_r$$$ \beta_r = \int_{-1/2}^{1/2} [\tilde p_r'(\xi)]^2 + [\tilde p_r''(\xi)]^2 + \dots + [\tilde p_r^{(k-1)}(\xi)]^2 d\xi $$ およびインターフェイスの値 $v_{i+1/2}^{(r)} = \tilde p_r(1/2)$

ステンシル $S_0, \dots, S_{k-1}$シフトだけが異なります。これは、$p_r$完全に独立しているわけではありません。確かに、方程式を比較してみましょう$\tilde p_0$ そして $\tilde p_r$$$ \int_{j-1/2}^{j+1/2} \tilde p_0(\xi) d\xi = v_{i+j}, \qquad j = 0, \dots, k-1\\ \int_{j'-1/2}^{j'+1/2} \tilde p_r(\xi) d\xi = v_{i+j'}, \qquad j' = -r, \dots, k-r-1 $$ 差し込む $j' = j-r$ 我々が得る $$ \int_{j-r-1/2}^{j-r+1/2} \tilde p_r(\xi) d\xi = v_{i+j-r}, \qquad j = 0, \dots, k-1 $$ 今変更 $\eta = \xi + r$ $$ \int_{j-1/2}^{j+1/2} \tilde p_r(\eta - r) d\eta = v_{i-r+j}, \qquad j = 0, \dots, k-1 $$ かなり明白な(上の画像から)プロパティを取得しました $$ \tilde p_r(\xi) = \tilde p_0(\xi + r)\Big|_{v_i \mapsto v_{i-r}} $$ すべて $\beta_r$ で表現することができます $\tilde p_0$ のみ: $$ \beta_r = \left.\int_{r-1/2}^{r+1/2} [\tilde p_0'(\xi)]^2 + [\tilde p_0''(\xi)]^2 + \dots + [\tilde p_0^{(k-1)}(\xi)]^2 d\xi\right|_{v_i \mapsto v_{i-r}}. $$ インターフェースの値もそうです $v_{i+1/2}^{(r)} = \left.\tilde p_0(r + 1/2)\right|_{v_i \mapsto v_{i-r}}$

これで、最終的にの正確な形式を見つけることに集中できます。 $\tilde p_0(\xi)$

アプローチ1。強引な。単にしましょう$\tilde p_0(\xi) = c_0 + c_1 \xi + \dots + c_{k-1} \xi^{k-1}$。方程式 $$ \int_{j-1/2}^{j+1/2} \tilde p_0(\xi) d\xi = v_{i+j}, \qquad j = 0, \dots, k-1 \tag{*} $$ 基本的にのシステムです $k$ の線形方程式 $k$ 不明 $c_m$。これにより、次のフォームが得られます。$\tilde p_0(\xi)$$$ \tilde p_0(\xi) = \begin{pmatrix} 1 & \xi & \cdots & \xi^{k-1} \end{pmatrix} A^{-1} \begin{pmatrix} v_i\\ v_{i+1}\\ \vdots\\ v_{i+k-1} \end{pmatrix} $$ ここでのエントリ $A$ によって与えられます $$ a_{jm} = \int_{j-1/2}^{j+1/2} \xi^m d\xi = \frac{(j+1/2)^{m+1} - (j-1/2)^{m+1}}{m+1}, \qquad j,m = 0, \dots, k-1. $$

の例 $k = 3$$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/12\\ 1 & 1 & 13/12\\ 1 & 2 & 49/12\\ \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{24}\begin{pmatrix} 23 & 2 & -1\\ -36 & 48 & -12\\ 12 & -24 & 12 \end{pmatrix} $$ $$ \tilde p_0(\xi) = \frac{23 v_i + 2v_{i+1} - v_{i+2}}{24} + \frac{-3 v_i + 4v_{i+1} - v_{i+2}}{2} \xi + \frac{v_i - 2v_{i+1} + v_{i+2}}{2} \xi^2. $$

アプローチ2。補間の問題を減らします。不定積分を検討する$P(\xi) = \int \tilde p_0(\xi) d\xi$。を使用して方程式(*)を書き直す$P(\xi)$ 与える $$ P(j+1/2) - P(j-1/2) = v_{i+j}, \qquad j = 0, \dots, k-1. $$ 関数 $P(\xi)$ 次数の多項式です $k$ と持っています $k$制約方程式。もう1つの方程式が課される場合があります。使ってみよう$P(-1/2) = 0$。システムは $$ P(-1/2) = 0\\ P(1/2) - P(-1/2) = v_{i}\\ \vdots\\ P(k-1/2) - P(k-3/2) = v_{i+k-1}\\ $$ 合計 $j+1$ 最初の方程式は $$ P(j-1/2) = \sum_{m=0}^{j-1} v_{i+m}, \quad j = 0, \dots, k. $$ これは明らかに補間の問題です:多項式を見つける $P(\xi)$ 程度の $k$ その既知の値によって $P(j-1/2) = V_j = \sum_{m=0}^{j-1} v_{i+m}$。ザ・$P(\xi)$ を使用して表現される可能性があります https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial $$ P(\xi) = 0 + v_i (\xi + 1/2) + \frac{v_{i+1} - v_{i}}{2} (\xi + 1/2) (\xi - 1/2) + \dots {} \\ {} \dots + [V_0, \dots, V_k] (\xi + 1/2) \cdots (\xi - k + 3/2). $$ の例 $k = 3$。分割された差分テーブル: $$ \begin{array}{c|cccccc} -1/2 & 0\\ && v_i\\ 1/2 & v_i&&\frac{v_{i+1} - v_i}{2}\\ && v_{i+1} && \frac{v_{i+2} - 2v_{i+1} + v_i}{6}\\ 3/2 & v_i + v_{i+1}&&\frac{v_{i+2} - v_{i+1}}{2}\\ && v_{i+2}\\ 5/2 & v_i + v_{i+1} + v_{i+2}\\ \end{array} $$ $$ P(\xi) = v_i (\xi + 1/2) + \frac{v_{i+1} - v_i}{2} (\xi + 1/2) (\xi - 1/2) + {} \\ {} + \frac{v_{i+2} - 2v_{i+1} + v_i}{6} (\xi + 1/2) (\xi - 1/2) (\xi - 3/2) $$ $$ \tilde p_0(\xi) = P'(\xi) = v_i + (v_{i+1} - v_i)\xi + \frac{v_{i+2} - 2v_{i+1} + v_i}{24} (12\xi^2 - 12\xi - 1). $$

PS計算は、大きくなるとはるかに複雑になります$k$ 値なので、いくつか使用することをお勧めします https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems 手動で計算する代わりに。

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