サンプル自体に量子化エラーなどの不確実性がある場合、スチューデントのt分布は有効ですか?

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Greedo 2020-07-19 06:12.

NB:私は物理スタック交換に投稿するつもりでしたが、これがどこに当てはまるかはよくわかりません。しかし、私は下手なエンジニアにすぎないので、できれば表記を簡単にしてください。

スチューデントのt分布を使用して、パラメーターを推測できます($\mu,\sigma^2$)に基づく確率分布の $n$私が想定するデータのサンプルは、ガウス事前分布に適合します。しかし、私が見たすべての例では、$n$サンプルはすべて単純な値です。不確実性のあるデータのサンプルに基づいて確率分布を推測するにはどうすればよいですか。もし私の$n$サンプルは単純な値ではなく、確率分布そのものですか?推定される分布の形状に対する測定の不確かさの影響は何ですか?

環境

コンピューターでコードを実行するのにかかる時間を測定しようとしています。タイマーは低解像度(私が測定しようとしている期間と同じ桁数)であるため、実際のタイムスタンプは100ミリ秒のビンに量子化されます。これらのビン内で均一な長方形の確率分布を仮定すると、時間差は三角形の確率分布になります。

すなわちで始まるタスク $142ms$ で終わる $331 ms$ 量子化されたときは、 $100\pm50ms$ そしてで終わる $300\pm50ms$。その場合、差は、中心となる三角形の確率分布になります。$200ms$ との幅で $\pm 100ms$

これらの三角形のタイムスパン測定値がいくつかあり、それらを使用して分布のパラメーターを決定したいと思います。私が言ったように、サンプルの量子化エラーを無視して、最頻(中心)値をt分布にプラグインすることもできますが、確かにこれらのエラーは不確実性を高めます($\sigma$)私の推定ガウス分布の?

1 answers

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K.defaoite 2020-07-19 06:37.

あなたがしなければならないのはあなたが測定している統計にこの不確かさを組み込むことです。使用例を示します$\bar{x}$ そして $s^2$、しかし、これがどのように一般化するかを理解することは難しくありません。

の機能があるとしましょう $n$ 変数: $$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} ~; f:(x_1,...,x_n)\mapsto f(x_1,...,x_n)$$ いくつかのエラーがあります $\delta x_i$ 各引数で、エラー $f$ 大まかになります $$\delta f=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i\right)^2}$$

たとえば、これをサンプル平均に適用してみましょう。データのサンプルについて$x_1,...x_n$ サンプル平均は $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$ したがって、 $\forall i\in [1,n]$$$\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_i}=\frac{1}{n}.$$ したがって、各測定に関連するエラーがある場合 $\delta x_i$、サンプル平均を測定するときの最大誤差は $$\delta \bar{x}=\frac{1}{n}\sqrt{\sum_{i=1}^n {\delta x_i}^2}$$ 推定する際にこのように、人口の平均値を、あなたはいつものように、標準エラー出力の両方を組み込むために持っているだけでなく、あなたが上から得るものは何でもエラーに追加します。サンプルの標準偏差も実行してみましょう。それを思い出します $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$$ など $$\frac{\partial s^2}{\partial x_i}=\frac{1}{n-1}\frac{\partial}{\partial x_i}(x_i-\bar{x})^2$$ 上で決定したことを使用して、これは $$\frac{\partial s^2}{\partial x_i}=\frac{2}{n-1}(x_i-\bar{x})\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}(x_i-\bar{x})$$ したがって、 $$\delta s^2=\frac{2}{n}\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2{\delta x_i}^2}$$ 注:混同しないでください $\delta s^2$$(\delta s)^2$

したがって、コメントで言及されているトピックのいくつかを使用してこの回答を拡張するには、いくつかの実際のデータポイントがあるとします。 $x_1,...,x_n=\mathbf{x}$ の位置を測定することを目的としています $\Bbb{R}^n$ いくつかの望ましい点の $\mathbf{x}_0.$ ここで、各測定に対応するエラーがあるとします。 $\delta x_i$ それぞれがPDFに続くどのIID確率変数 $p$ オン $\Bbb{R}$。目的のポイントを想定しています$\mathbf{x}_0$ ベクトル範囲内です $(x_1\pm\delta x_1,...,x_n\pm\delta x_n)$。問題は、正味の誤差がどれくらい大きいと予想するかということです。$\Vert \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\Vert$、 することが?基本的に私たちがする必要があるのはランダムベクトルを定義することです$\delta\mathbf{x}=(\delta x_1,...,\delta x_n)$ の期待値を取る $\Vert\delta\mathbf{x}\Vert.$ したがって、原則として、これは次のようになります。 $$\mathrm{E}\left(\Vert\delta\mathbf{x}\Vert\right)=\int_0^\infty \epsilon\cdot \mathrm{P}(\Vert\delta\mathbf{x}\Vert=\epsilon)\mathrm{d}\epsilon$$ ザ・ $\mathrm{P}(\Vert\delta\mathbf{x}\Vert=\epsilon)$ ビットはそれ自体が不可欠であり、非常に注意が必要です。ビットは、ビットのボリュームと関係があります。 $n$ 半径で囲まれた次元の球殻 $\epsilon$ ; $\epsilon + \mathrm{d}\epsilon$ PDFの値で重み付けされています $p$ それぞれについて $\delta x_i$その時点で。これは、非常に我々が想定した場合より簡単に$\delta x_i$はすべてIIDです。それ以降、積分は対称であり、1次元に縮小できます。ただし、すべての詳細を明らかにする場合は、もう少し時間が必要です。

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