WolframAlphaが計算できないのはなぜですか $\int_0^{2\pi}\sqrt{(a-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\ d\theta$?

2
uhoh 2020-07-19 03:27.

でこの回答に2つのオブジェクト間の平均距離が算出された第3のオブジェクトの周りに旋回され、方法は?私は統合しなければなりませんでした

$$\int_0^{2 \pi}\sqrt{(a-\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} \ d\theta.$$

私はウルフラムアルファと一体解析的に見つけることを試みたが、それは、エラー・メッセージが返されました:

標準計算時間を超えました...

それは私を驚かせました。これは既知であり、サイトで簡単に検索できると思いました。

これは、この定積分の既知の分析形式がないことを意味しますか?それとも何らかの理由でそれは特に挑戦的ですか?

1 answers

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Claude Leibovici 2020-07-19 03:54.

エラーメッセージではなく、「標準計算時間を超えました」というメッセージです。

あなたが得るべきだったのは $$I=\int_0^{2 \pi}\sqrt{(a-\cos (\theta))^2 + \sin^2 (\theta)} \ d\theta=$$ $$I=2 \left(\sqrt{(a-1)^2} E\left(-\frac{4 a}{(a-1)^2}\right)+\sqrt{(a+1)^2} E\left(\frac{4 a}{(a+1)^2}\right)\right)$$ 提供された場合 $a$ それは本物です $$\Re(a (a+2))>-1\land \Re((a-2) a)>-1$$ここに、第2種のエルプティック積分が表示されます。実際、これは$$I=4(a+1)E\left(\frac{4 a}{(a+1)^2}\right)$$

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