しましょう $S=\{a,b\}$。どの二項演算$*$ オン $\wp(S)$ 作る $(\wp(S),*)$ 巡回群?

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Noname 2020-07-13 09:21.

しましょう $S=\{a,b\}$ セットになり、そして $\wp(S)$ のべき集合 $S$。それはよく知られています$$(\wp(S),\triangle,\emptyset)\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\,,$$ どこ $\triangle$ 2つのセットの対称差です。

今、あります $24$ 全単射 $f\colon \mathbb{Z}_4 \to \wp(S)$、したがって、同じ数の操作 "$*$「で $\wp(S)$ そのような $$(\wp(S),*,f(0))\cong \mathbb{Z}_4.$$何度か試行錯誤を繰り返しましたが、基本的な集合演算の観点から、対称(アーベル群)の閉じた式などの演算見つけることができませんでした。$\cup, \cap,\setminus$、対称差の式と同じです。

1 answers

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Batominovski 2020-07-13 10:22.

しましょう $(B,+,\cdot)$ 2つのジェネレータを持つブール代数である $u$ そして $v$。の乗算$B$ によって与えられます $u\cdot u=u$$v\cdot v=v$、および $u\cdot v=v\cdot u=0$。したがって、$e:=u+v$ の乗法的単位元です $B$

識別します $0$$u$$v$、および $e$$\emptyset$$\{a\}$$\{b\}$、および $\{a,b\}$、それぞれ。次に、任意の集合演算を関連付けることができます$\mathcal{P}(S)$ の多項式演算子を使用 $B$。これは、対称差演算子が$\triangle$ 多項式に関連付けられています $d(x,y):=x+y$、和集合演算子 $\cup$ 多項式に関連付けられています $f(x,y):=x+y+x\cdot y$、交差演算子 $\cap$ 多項式に関連付けられています $g(x,y):=x\cdot y$、差集合演算子 $\setminus$ に関連付けられています $h(x,y):=x+x\cdot y$、および補数演算子は多項式に関連付けられています $k(x):=e+x$

多項式が存在するとします $p(x,y)\in B[x,y]$ そのような二項演算 $\mathcal{P}(S)$ 装備 $\mathcal{P}(S)$ の構造を持つ $G:=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。しましょう$z\in B$ のアイデンティティとして機能する要素である $G$。以来$G$ アーベルである、私たちは得る $p(x,y)=p(y,x)$、wherece $$p(x,y)=\alpha+\beta\cdot x+\beta\cdot y+\gamma\cdot x\cdot y$$ いくつかのための $\alpha,\beta,\gamma\in B$。さて、 $$0=p(0,z)=\alpha+\beta\cdot z\,.$$ したがって、 $$\beta\cdot z=\alpha\,.$$ 私たちも持っています $$z=p(z,z)=\alpha+\beta\cdot z+\beta\cdot z+\gamma\cdot z\cdot z=\alpha+\gamma\cdot z\,.$$ したがって、 $$(e+\gamma)\cdot z=z+\gamma\cdot z=\alpha\,.$$ さらに、 $$\begin{align}e=p(e,z)&=\alpha+\beta\cdot e+\beta\cdot z+\gamma\cdot e\cdot z \\&=\alpha+\beta+\alpha+(\alpha+z)=\alpha+\beta+z\,.\end{align}$$ その結果、 $$z=e+\alpha+\beta\,.$$ から $\beta\cdot z=\alpha$、私たちはそれを結論付けます $\alpha\cdot\beta=\alpha$、または $$\alpha\cdot(e+\beta)=0\,.$$

ケースI: $\beta=0$。次に、$\alpha=\beta\cdot z=0$。したがって、$z=e+\alpha+\beta=e$。なので$(e+\gamma)\cdot z=\alpha$、私たちはそれを結論付けます $\gamma=e$。したがって、$p(x,y)=x\cdot y$、明らかに機能しません。(または、注意してください$p(0,0)=0$、これは次の結果と矛盾します $z=e$ のアイデンティティです $G$。)

ケースII: $\beta=u$。次に、$\alpha\cdot v=\alpha\cdot(e+\beta)=0$。したがって、どちらか$\alpha=0$ または $\alpha=u$

  • 場合 $\alpha=0$、その後から $z=e+\alpha+\beta$、 我々が得る $z=v$。から$(e+\gamma)\cdot z=\alpha$、私たちはそれを結論付けます $\gamma=0$ または $\gamma=v$。その場合$\gamma=0$、 我々が得る $p(x,y)=u\cdot(x+y)$、つまりの画像 $p(x,y)$ することができます $0$ または $u$、矛盾につながる。その場合$\gamma=v$、 我々が得る $$p(x,y)=u\cdot(x+y)+v\cdot(x\cdot y)\,,$$ どこから $$p(u,0)=u\cdot(u+0)+v\cdot(u\cdot 0)=u\,,$$ しかし、これは次の結論と矛盾します $z=v$ のアイデンティティに関連付けられています $G$

  • 場合 $\alpha=u$、その後 $z=e+\alpha+\beta=e$。から$(e+\gamma)\cdot z=\alpha$、私たちはそれを結論付けます $\gamma=v$。エルゴ、 $$p(x,y)=u+u\cdot(x+y)+v\cdot(x\cdot y)\,.$$ したがって、 $$p(u,u)=u+u\cdot(u+u)+v\cdot(u\cdot u)=u\,.$$ これは、次の結果と矛盾します。 $z=e$ のアイデンティティに関連付けられています $G$

ケースIII: $\beta=v$。議論はケースIIと同じです。

ケースIV: $\beta=e$。次に、$z=e+\alpha+\beta=\alpha$、およびから $(e+\gamma)\cdot z=\alpha$、 我々が得る $\gamma\cdot\alpha=0$

  • 場合 $\alpha=0$、その後 $z=0$ そして $$p(x,y)=(x+y)+\gamma\cdot(x\cdot y)\,.$$ したがって、 $p(\gamma,\gamma)=\gamma$ ことを意味します $\gamma$ のアイデンティティに関連付けられています $G$、作る $\gamma=z=0$。したがって、$p(x,y)=x+y$、明らかに機能しません。(または、注意してください$p(0,0)=0$、これは次の結果と矛盾します $z=e$ のアイデンティティです $G$。)

  • 場合 $\alpha=u$、その後 $z=u$ そして $$p(x,y)=u+(x+y)+\gamma\cdot(x\cdot y)\,.$$ ご了承ください $\gamma\cdot \alpha=0$ 意味する $\gamma=0$ または $\gamma=v$。場合$\gamma=0$、その後 $p(0,0)=u=p(v,v)$、これは次の事実と矛盾します $G$ 順序の要素が1つしかない $2$。場合$\gamma=v$、その後 $p(e,v)=v$、これは次の結果と矛盾します $u$ のアイデンティティに関連付けられています $G$

  • 場合 $\alpha=v$、次に、前のサブケースと同様の矛盾があります。

  • 場合 $\alpha=e$、その後 $z=e$ そして $\gamma=0$、作る $$p(x,y)=e+(x+y)\,.$$ さて、 $p(x,x)=e$ すべてのために $x\in B$ という事実と矛盾する $G$ 順序の要素が1つしかない $2$

したがって、そのような多項式 $p(x,y)\in B[x,y]$存在しない。したがって、二項演算子はありません$*$ オン $\mathcal{P}(S)$ を作る通常の集合演算によって与えられます $\mathcal{P}(S)$ グループと同型 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

PS より一般化された設定に対するはるかに単純な議論を参照してくださいhttps://iquestion.pro/q/ma16752566/pawa-setto-o-sobi-dekimasu-ka-p-nin-i-no-setto-no-s-ji-no-yona-ni-ko-enzan-de

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