特異値分解(SVD)を再配置する方法は?

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niebayes 2020-07-11 03:43.

SVDを実行する場合があります($A=U\Sigma V^T$)の対角要素が $\Sigma$ 降順です。

私の質問は、この再配置をどのように行うかです。誰かが私に詳細を見せてもらえますか?

別の質問:は $A=U'\Sigma' V'^T$ まだ有効なSVD?

1 answers

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Oliver Diaz 2020-07-11 05:14.

至る所でSVDのいくつかの説明があります。これは、このフォーラムの説明への特異値分解(SVD)を理解するです。

これはあなたが尋ねたように注文を取得する構造です。

仮定します $A$$m\times n$ 上のマトリックス $\mathbb{C}$。を使用しております$A^*$ の共役転置を表す $A$ (これは $n\times m$マトリックス)。上の演算子の観点から$L(\mathbb{C}^m,\mathbb{C}^n)$$A^*$ を満たす演算子です $$y^*Ax=\langle Ax,y\rangle = \langle x,A^*y\rangle=(A^*y)^*x$$

  • $A^*A$$n\times n$ マトリックスとsatisfis $x^*A^*Ax=\langle Ax,Ax\rangle=\|Ax\|^2_2\geq0$
  • 線形代数の既知の事実により、 $A^*A$ 持っている $n$-固有値、すべて実数および非負であり、次のように降順で並べ替えることができます $\sigma^2_1\geq \sigma^2_2\geq\ldots\geq\sigma^2_n$。異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交しているので、次の直交基底を見つけることができます。$\mathbb{C}^n$ 固有ベクトルの一貫性。
  • 仮定します $r=\operatorname{rank}(A^*A)$。次に$r\leq (m,n)$、 など $\sigma^2_1\geq\ldots\geq\sigma^2_r>0=\sigma^2_{r+1}=\ldots\sigma^2_n$
  • 固有ベクトルを選択します $u_j$ そのような $$A^*Au_j=\sigma^2_j u_j,\quad 1\leq j\leq n$$ そして $\langle u_i,u_j\rangle=u^*_ju_i=\delta_{ij}$。あれは$\{u_j:1\leq j\leq n\}$ 固有ベクトルの正規直交基底の場合。
  • 特に $$ \|Au_j\|^2=\langle Au_j,Au_j\rangle =\langle u_j,A^*Au_j\rangle =\sigma^2_j\langle u_j,u_j\rangle =\sigma^2_j$$ など、 $Au_j>0$ ために $1\leq j\leq r$ そして $0$ さもないと。
  • 定義する $Q$ として $n\times n$ その行列 $j$-行は $u^*_j$。明らかに$Q$ は直交行列です。 $QQ^*=I_n$ つまり、 $Q^*Q=I_n$
  • ために $i=1,\ldots ,r$ 定義する $$v_i=\frac{1}{\sigma_i}Au_j$$
  • 次の場合に注意してください $1\leq i,j\leq r$$$\langle v_i,v_j\rangle =\frac{1}{\sigma_i\sigma_j}\langle Au_i,Au_j\rangle=\frac{1}{\sigma_i\sigma_j}\langle u_i,A^*Au_j\rangle =\frac{\sigma_j}{\sigma_i}\delta_{ij}=\delta_{ij}$$ あれは、 $\{v_j:1\leq j\leq r\}$ の正規直交ベクトルです $\mathbb{C}^m$
  • コンプリート $\{v_1,\ldots,v_r\}$ ベクトルで $\{v_{r+1},\ldots,v_m\}$ (必要に応じて)の正規直交基底を形成する $\mathbb{C}^m$。定義する$P$ として $m\times m$ その行列 $i$-番目の列は $v_i$。明らかに、$P$ の直交行列です $P^*P=I_m$ など $PP^*=I_m$
  • そのことに注意してください $D:=P^*AQ^*$$m\times n$ 主対角線を持つ行列 $(\sigma_1,\ldots,\sigma_r,0,\ldots,0)$ そして他のどこでもゼロ、 $$(P^*AQ^*)_{ij}=v^*_iAu_j=\sigma_jv_iv_j=\sigma_j\delta_{ij}$$ ために $1\leq j\leq r$、および $$(P^*AQ)_{ij}=v^*_iAu_j=\sigma_j v^*_iv_j=0=\sigma_j\delta_{ij}$$ ために $j>r$
  • 物事をまとめると、 $A=PDQ$、の主対角線に必要な降順 $D$

いくつかの細かい発言:

  1. 行列 $Q$ そして $P$ のSVD分解で $A$、の主対角線が $D$ は降順であり、一意ではありません(多重度> 1の固有値に対応する固有ベクトルの順序付けには、正規直交基底を完成させるための別の選択肢があります。 $P$、およびユニタリースケールによるベクトルの乗算も異なる $Q$$P$s)

  2. 特定のSVD分解の場合 $P,D,Q$$A$が与えられ、の主対角線上の順列$D$ (($\sigma_j$ そして $\sigma_i$ 交換されると、 $i$-番目と $j$-の行 $Q$ そしてその $i$-番目と $j$-の列 $P$ フォームのアイデンティティを維持するために $A=(P')D'(Q')^*$

  3. Fortran、C、C ++などに移植できる多くのライブラリ(BLAS、LAPACKなど)にすでに実装されているSVD分解を見つけるための効率的な数値アルゴリズムがあります。私の知る限り、それらはすべて、 $m\times n$ 対角線 $D$ 主対角線が降順に並べられている行列。

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