の埋め込まれた部分多様体の境界の接空間の特性化 $\mathbb R^d$ 境界あり

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0xbadf00d 2020-07-08 09:18.

しましょう $M$ である $k$-次元埋め込み $C^1$-の部分多様体 $\mathbb R^d$ 境界付き、すなわち $M$ ローカルです $\mathcal C^1$-微分同相写像$^1$$\mathbb H^k:=\mathbb R^{k-1}\times[0,\infty)$$$T_xM:=\left\{v\in\mathbb R^d\mid\exists\varepsilon>0,\gamma\in C^1((-\varepsilon,\varepsilon),M):\gamma(0)=x,\gamma'(0)=v\right\}$$ の接空間を示します $M$ そして $M^\circ$ そして $\partial M$ マニホールドの内部と境界をそれぞれ示します。

しましょう $x\in M$$(\Omega,\phi)$ である $k$-次元 $C^1$-チャート $M$ 周り $x$、すなわち $\Omega$$M$-のオープン近所 $x$ そして $\phi$$C^1$-微分同相写像 $\Omega$ のオープンサブセットに $\mathbb R^k$ または $\mathbb H^k$ そして $u:=\phi(x)$

質問1:一般的にそれを示すことができますか$$T_xM={\rm D}\phi^{-1}(u)\mathbb R^k\tag1?$$ これは次の場合に簡単に表示できます $x\in M^\circ$ そして $(\Omega,\phi)$内部チャートです$\phi$$C^1$-微分同相写像 $\Omega$ のオープンサブセットに $\mathbb R^k$。一般的な場合にも当てはまるはずですが、私が見逃している微妙な点があるかどうかはわかりません。

質問2:私たちはそれを知っています$\partial M$$(k-1)$-次元埋め込み $C^1$-の部分多様体 $\mathbb R^d$境界付き。場合$x\in\partial M$ そして $(\Omega,\phi)$境界チャートです$\phi$$C^1$-微分同相写像 $\Omega$ のオープンサブセットに $\mathbb H^k$$u=\phi(x)\in\partial\mathbb H^k$、その後$^2$ $(\tilde\Omega,\tilde\phi):=(\Omega\cap\partial M,\pi\circ\left.\phi\right|_{\Omega\:\cap\:\partial M}$$(k-1)$-次元 $C^1$-チャート $\partial M$ 周り $x$。から$(1)$ そして https://iquestion.pro/q/ma16748603、それはそれに従うべきです $$T_x\partial M={\rm D}\tilde\phi^{-1}(\tilde\phi(x))\mathbb R^{k-1}={\rm D}\phi^{-1}(u)\partial\mathbb H^k\tag2.$$これは正しいです?そして、(一意の)ユニット法線フィールドを構築することは可能ですか?$\partial M$ それから?

通常の空間を計算するために $N_x\partial M$、私は以下を試しました:By $(2)$ 私たちはそれぞれが知っている $v\in T_x\partial M$ の形式です $v=Bh$ いくつかのための $h\in\partial\mathbb H^k$、 どこ $B:={\rm D}\phi^{-1}(u)$。場合$A:={\rm D}\phi(x)$、取得する必要があります $AB=\operatorname{id}_{\mathbb R^k}$ そして $BA=\operatorname{id}_{\mathbb R^d}$。場合$(e_1,\ldots,e_k)$ の標準基底を示します $\mathbb R^k$、その後 $$\langle Bh,A^Te_k\rangle=\langle ABh,e_k\rangle=\langle h,e_k\rangle=0\tag3.$$ そう、 $A^Te_k\in N_x\partial M$。私たちはそれを証明し、多分次元によってそれを主張することができますか$N_x\partial M=\mathbb RA^Te_d$


$^1$ 場合 $E_i$$\mathbb R$-バナッハ空間と $B_i\subseteq E_i$、その後 $f:B_1\to E_2$ と呼ばれる $C^1$-で微分可能 $x_1\in B_1$ ある場合 $E_1$-オープンネイバーフッド $\Omega_1$$x_1$$\tilde f\in\mathcal C^\alpha(\Omega_1,E_2)$$\left.f\right|_{B_1\:\cap\:\Omega_1}=\left.\tilde f\right|_{B_1\:\cap\:\Omega_1}$$f$ と呼ばれる $\mathcal C^1$-微分可能 $f$ です $C^\alpha$-で微分可能 $x_1$ すべてのために $x_1\in B_1$

$g$ と呼ばれる $C^1$-微分同相写像 $B_1$$B_2$ もし $g$ からの同相写像です $B_1$$B_2$ そして $g$ そして $g^{-1}$ です $C^1$-微分可能。

$^2$ 便宜上、 $\iota$ の正規の埋め込みを示します $\mathbb R^{k-1}$$\mathbb R^k$$\iota\mathbb R^{k-1}=\mathbb R^{k-1}\times\{0\}$ そして $\pi$ の標準的な投影を示します $\mathbb R^k$$\mathbb R^{k-1}$$\pi(\mathbb R^{k-1}\times\{0\})=\mathbb R^{k-1}$

1 answers

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Jan Bohr 2020-07-10 21:54.

あなたはそれを大丈夫です。

Q1、ポイントは、ということです$\phi$ 微分同相写像です $ V \xrightarrow{\sim} U\subset \mathbb{H}^k$、 送信 $x\in V$$u\in U$、したがって $D\phi(x):T_xM\rightarrow T_u\mathbb{H}^k \cong\mathbb{R}^{k}$ は線形同型写像です(逆はの微分によって与えられます $\phi^{-1})$。これはあなたの質問に(1)を与えます。

第2四半期については、同じ理由が$\tilde \phi$。ただし、表記$T_u \partial \mathbb{H}^k \cong\mathbb{R}^{k-1}$ (線形構造に重点を置いています!) $\partial \mathbb{H}^{k}$(2)の右側にあります。通常に関しては、あなたの構造は確かに完全にうまく機能します$N_x\partial M = (A^Te_k) \mathbb{R}$ (提案で転置を見逃していることに注意してください):通常のバンドルには1次元のファイバーがあることを知っています( $k-1$-次元空間 $T_x\partial M$ それはにまたがる $k$-次元空間 $T_xM)$、そしてあなたが言っている唯一のことは、この一次元空間がその中の非ゼロ要素(=基底)にまたがっているということです。

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