リーマン積分の置換定理を理解する。

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Kishalay Sarkar 2020-07-06 04:14.

私たちに言わせてください $f$ 上の積分可能な関数です $[a,b]$ そして私たちは評価したい $\int_a^b f(x)dx$ でも計算が簡単ではないことが多いので、代用の方法があります。 $x=\phi(t)$ どこ $\phi$ 上の微分可能関数です $[\alpha,\beta]$ そのような $\phi(\alpha)=a$ そして $\phi(\beta)=b$。また $\phi'$ で統合可能です $[\alpha,\beta]$ そして $\phi'(x)\neq 0$ すべてのために $x\in [\alpha,\beta]$次に、上記の積分を次のように評価できます。 $\int _a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$

しかし、私は少しですが、非常に多くの条件に悩まされています、私は証明をすることができましたが、必要な条件を忘れることが多いので、問題に定理を使用するのに苦労しています。リーマン積分における置換の定理?また、各条件が必須であることを示すいくつかの反例が欲しいです。

2 answers

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RRL 2020-07-07 07:50.

強い十分条件はそれです $f$ 継続的であり、 $\phi'$可積分です。簡単な証明はFTCを使用し、単調性は$\phi$ 必要ありません。

定義 $F(t) = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(t)}f(x) \, dx$、 我々は持っています $F'(t) = f(\phi(t)) \phi'(t)$ 以来 $f$ 継続的であり、

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)}f(x) \, dx = F(\beta)= \int_\alpha^\beta F'(t) \, dt = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t) \, dt$$


一方、次の条件を削除することができます $f$は連続的であり、可積分性のみを想定しています。リーマン和を使用した簡単な証明を容易にするために、次のことを仮定する必要があります。$\phi$ 継続的に微分可能で単調です。

パーティションを取る $\alpha = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = \beta$ と合計を形成します

$$\tag{*}S(P,f\circ\phi \, \phi')= \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))\phi'(\xi_j)(t_j - t_{j-1})$$

中間点を使用する場所 $\xi_j \in [t_{j-1},t_j]$ に収束します $\int_\alpha^\beta f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt$ パーティションが洗練されるにつれて。

場合 $\phi$ その後、パーティションが増加しています $P'$$[\phi(\alpha),\phi(\beta)]$ によって誘発されます

$$\phi(\alpha) = \phi(t_0) < \phi(t_1) < \ldots < \phi(t_n) = \phi(\beta),$$

中間点を使用する $\phi(\xi_j)$、の積分のリーマン和があります $f$ 以上 $[\phi(\alpha),\phi(\beta)]$ フォームの

$$S(P',f) = \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))(\,\phi(t_j) - \phi(t_{j-1})\,)$$

の単調性が必要であることに注意してください $\phi$ それを確保するために $\phi(\xi_j) \in [\phi(t_{j-1}), \phi(t_j)]$

平均値の定理を適用すると、ポイントが存在します $\eta_j \in (t_{j-1},t_j))$ そのような

$$\tag{**}S(P',f) = \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))\phi'(\eta_j)(t_j - t_{j-1})$$

(*)と(**)の合計の類似性に注意してください。の違いは別として$\eta_j$ そして $\xi_j$、それらは同一です。の連続性(したがって、一様連続性)を使用する$\phi'$ パーティションが洗練され、両方が洗練されていることを示すことができます $\|P\|, \|P'\| \to 0$ 我々は持っています

$$\lim_{\|P|| \to 0}|S(P,f\circ \phi\,\phi') - S(P',f)| = 0$$

したがって、 $S(P',f)$ 両方の積分に収束し、

$$\lim_{\|P'\| \to 0}S(P',f) = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(x) \, dx = \int_a^b f(\alpha(t)) \alpha'(t) \, dt$$

繰り返しますが、変数変換の定理を証明する方法はいくつかあります。 $\phi$は単調です-リーマン和とのこの関連付けを回避します。最も一般的な形式では、可積分性のみであり、$f$ そして $\phi'$ が想定されます。


条件をさらに弱めることができます。両方の場合、結果は保持されます$f$ そして $\phi'$連続性を前提とせずに統合可能です。これを証明するのははるかに困難です。ここから、反例の検索を開始できます。

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astro 2020-07-06 04:28.

これは、コンポジションに適用される基本的な定理と考えてください。連鎖律によってそれはそれを保持します$(f \circ \phi)'=f'(\phi) \circ \phi'$ だから、大まかに、 $f \circ \phi=\int (f'(\phi) \circ \phi')$。積分の限界を超える残りの条件は、変数を変更した結果です。$\phi (x)= t$

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