リーマン積分の置換定理を理解する。

2
Kishalay Sarkar 2020-07-06 04:14.

私たちに言わせてください $f$ 上の積分可能な関数です $[a,b]$ そして私たちは評価したい $\int_a^b f(x)dx$ でも計算が簡単ではないことが多いので、代用の方法があります。 $x=\phi(t)$ どこ $\phi$ 上の微分可能関数です $[\alpha,\beta]$ そのような $\phi(\alpha)=a$ そして $\phi(\beta)=b$。また $\phi'$ で統合可能です $[\alpha,\beta]$ そして $\phi'(x)\neq 0$ すべてのために $x\in [\alpha,\beta]$次に、上記の積分を次のように評価できます。 $\int _a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$

しかし、私は少しですが、非常に多くの条件に悩まされています、私は証明をすることができましたが、必要な条件を忘れることが多いので、問題に定理を使用するのに苦労しています。リーマン積分における置換の定理?また、各条件が必須であることを示すいくつかの反例が欲しいです。

2 answers

4
RRL 2020-07-07 07:50.

強い十分条件はそれです $f$ 継続的であり、 $\phi'$可積分です。簡単な証明はFTCを使用し、単調性は$\phi$ 必要ありません。

定義 $F(t) = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(t)}f(x) \, dx$、 我々は持っています $F'(t) = f(\phi(t)) \phi'(t)$ 以来 $f$ 継続的であり、

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)}f(x) \, dx = F(\beta)= \int_\alpha^\beta F'(t) \, dt = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t) \, dt$$


一方、次の条件を削除することができます $f$は連続的であり、可積分性のみを想定しています。リーマン和を使用した簡単な証明を容易にするために、次のことを仮定する必要があります。$\phi$ 継続的に微分可能で単調です。

パーティションを取る $\alpha = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = \beta$ と合計を形成します

$$\tag{*}S(P,f\circ\phi \, \phi')= \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))\phi'(\xi_j)(t_j - t_{j-1})$$

中間点を使用する場所 $\xi_j \in [t_{j-1},t_j]$ に収束します $\int_\alpha^\beta f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt$ パーティションが洗練されるにつれて。

場合 $\phi$ その後、パーティションが増加しています $P'$$[\phi(\alpha),\phi(\beta)]$ によって誘発されます

$$\phi(\alpha) = \phi(t_0) < \phi(t_1) < \ldots < \phi(t_n) = \phi(\beta),$$

中間点を使用する $\phi(\xi_j)$、の積分のリーマン和があります $f$ 以上 $[\phi(\alpha),\phi(\beta)]$ フォームの

$$S(P',f) = \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))(\,\phi(t_j) - \phi(t_{j-1})\,)$$

の単調性が必要であることに注意してください $\phi$ それを確保するために $\phi(\xi_j) \in [\phi(t_{j-1}), \phi(t_j)]$

平均値の定理を適用すると、ポイントが存在します $\eta_j \in (t_{j-1},t_j))$ そのような

$$\tag{**}S(P',f) = \sum_{j=1}^n f(\phi(\xi_j))\phi'(\eta_j)(t_j - t_{j-1})$$

(*)と(**)の合計の類似性に注意してください。の違いは別として$\eta_j$ そして $\xi_j$、それらは同一です。の連続性(したがって、一様連続性)を使用する$\phi'$ パーティションが洗練され、両方が洗練されていることを示すことができます $\|P\|, \|P'\| \to 0$ 我々は持っています

$$\lim_{\|P|| \to 0}|S(P,f\circ \phi\,\phi') - S(P',f)| = 0$$

したがって、 $S(P',f)$ 両方の積分に収束し、

$$\lim_{\|P'\| \to 0}S(P',f) = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(x) \, dx = \int_a^b f(\alpha(t)) \alpha'(t) \, dt$$

繰り返しますが、変数変換の定理を証明する方法はいくつかあります。 $\phi$は単調です-リーマン和とのこの関連付けを回避します。最も一般的な形式では、可積分性のみであり、$f$ そして $\phi'$ が想定されます。


条件をさらに弱めることができます。両方の場合、結果は保持されます$f$ そして $\phi'$連続性を前提とせずに統合可能です。これを証明するのははるかに困難です。ここから、反例の検索を開始できます。

0
astro 2020-07-06 04:28.

これは、コンポジションに適用される基本的な定理と考えてください。連鎖律によってそれはそれを保持します$(f \circ \phi)'=f'(\phi) \circ \phi'$ だから、大まかに、 $f \circ \phi=\int (f'(\phi) \circ \phi')$。積分の限界を超える残りの条件は、変数を変更した結果です。$\phi (x)= t$

Related questions

MORE COOL STUFF

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは、夫に会ったとき、典型的な交際のアドバイスに逆らいました。

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンは非営利の俳優ですが、それは正確にはどういう意味ですか?

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

特徴的なスターのコリン・エッグレスフィールドは、RomaDrama Liveでのスリル満点のファンとの出会いについて料理しました!加えて、大会での彼のINSPIREプログラム。

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

ノーザンエクスポージャーが90年代の最も人気のある番組の1つになった理由を確認するには、Blu-rayまたはDVDプレーヤーをほこりで払う必要があります。

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

BionicReadingアプリの人気が爆発的に高まっています。しかし、それは本当にあなたを速読術にすることができますか?

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖は、世界で2番目に大きいボイリング湖です。そこにたどり着くまでのトレッキングは大変で長いですが、努力する価値は十分にあります。

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

サロンからのヘアトリミングや個人的な寄付は、油流出を吸収して環境を保護するのに役立つマットとして再利用できます。

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

過去200年以上の間にホワイトハウスで結婚したのはほんの数人です。彼らは誰でしたか、そしてそこで結婚式を獲得するために何が必要ですか?

グッドジョブ、ESPN

グッドジョブ、ESPN

今日のホワイトハウスの記者会見で、報道官のサラ・ハッカビー・サンダースは、スポーツセンターのホストであるイェメル・ヒルのドナルド・トランプに関する最近のツイートについてコメントするよう求められ、大統領と彼の政策を白人至上主義者として説明した。ヒルは彼女のつぶやきのためにESPNによって公に叱責されました。

アマゾンからのこのレミントンツールセールで髪を整える、スタイルを整える、乾かす、または取り除く

アマゾンからのこのレミントンツールセールで髪を整える、スタイルを整える、乾かす、または取り除く

基本的に頭のあらゆる部分から髪の毛を整えたり、ブロードライしたり、まっすぐにしたり、脱毛したりする必要がある場合は、このレミントンゴールドボックスが最適です。今日だけ、Amazonは、すでに人気のあるShortcut Pro Self-HaircutKitやPearlPro Ceramic Flat Ironのように、グルーミングをはるかに簡単にするヘアツールをマークダウンしています。

カナダの元桂冠詩人が、史上最高の文化の盗用でトゥパックとマヤアンジェロウから盗んだ

カナダの元桂冠詩人が、史上最高の文化の盗用でトゥパックとマヤアンジェロウから盗んだ

トゥパックシャクール(ティムモーゼンフェルダー/ゲッティイメージズ); マヤアンジェロウ(マーティンゴッドウィン/ゲッティイメージズ)移動、テイラースウィフト。ケンドールとカイリーは、必要な数の座席を持っています。

テスラは、ハリケーンイルマによる避難を容易にするために、フロリダでの車両の範囲を拡大しています

テスラは、ハリケーンイルマによる避難を容易にするために、フロリダでの車両の範囲を拡大しています

写真:Tesla Motorsフロリダに住んでいて、Tesla Model S、Model X 60、またはModel 60Dを使用している場合、車の自律性は50 km(約30マイル)高くなります。これは失敗ではなく、ハリケーンイルマによる避難作業を容易にするために会社自身が命じた自治権の一時的な延長です。

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya shared a sweet photo in honor of boyfriend Tom Holland's 26th birthday Wednesday

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

シーレン「Ms.JuicyBaby」ピアソンは、先月脳卒中で入院した後、「もう一度たくさんのことをする方法を学ばなければならない」ため、言語療法を受けていることを明らかにしました。

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

オスカー受賞者の世紀半ばの家には、3つのベッドルーム、2つのバス、オーシャンフロントの景色があります。

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、生後4か月の娘、モナコに母乳育児をしていると語った。

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

Bioscoutは、農家を運転席に置くという使命を負っています。Artesian(GrainInnovate)やUniseedと並んで、最新のシードラウンドでチームを支援できることをうれしく思います。問題真菌症による重大な作物の損失は、農民にとって試練であることが証明されています。

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

遠隔医療は、パンデミック後の時代では新しいものではなく、時代遅れの分野でもありません。しかし、業界を詳しく見ると、需要と供給の強力な持続可能性と、米国で絶え間ない革命となる強力な潜在的成長曲線を示しています。

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

2021年は、世界的なベンチャーキャピタル(VC)の資金調達にとって記録的な年でした。DealStreetAsiaによると、東南アジアも例外ではなく、この地域では年間で記録的な25の新しいユニコーンが採掘されました。

ムーアの法則を超えて

ムーアの法則を超えて

計算に対する私たちの欲求とムーアの法則が提供できるものとの間には、指数関数的に増大するギャップがあります。私たちの文明は計算に基づいています—建築と想像力の現在の限界を超える技術を見つけなければなりません。

Language