次の場合にそれを証明する $\alpha$ 長さの任意のサイクルです $n$、および $\beta$ 移調です ${\alpha, \beta}$ 生成します $S_n$

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Noldorin 2020-07-02 09:42.

上記の一連の演習の質問6は、少し困惑しています。回転してからラベルを付け直すことができるようです$\alpha = (a_1 a_2 \cdots a_n)$ そのような $\alpha = (1 2 \cdots n)$ そして $\beta = (1 m)$—これにより、問題は質問5の結果にほぼ還元可能になりますが、それがわからないため、完全ではありません。$m = 2$、そしてこの事実は質問5の証明において非常に重要です。ヒントをいただければ幸いです。

1 answers

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Ben Grossmann 2020-07-02 10:21.

述べられているように、ステートメント6は真実ではありません。たとえば、$(1\ \ 3)$ そして $(1\ \ 2\ \ 3\ \ 4)$ 生成に失敗する $S_4$。特に、これら2つの要素によって生成されたサブグループは、二面体群と同型です。$D_4$ 注文の $8$


実際、私たちはそれを見ることができます $n>2$$\alpha = (1\cdots n)$ そして $\beta = (1\ \ m)$ 生成されます $S_n$ 場合に限り $n$ そして $m-1$ 互いに素です。

のために $\Longleftarrow$ 方向については、パート5のヒントで構築を繰り返すだけで十分です。

特に、 $$ \alpha^{m-1}(1\ \ m)\alpha^{1 - m} = (m\quad 2m - 1), \quad (1\ \ m)(m\quad 2m - 1)(1 \ \ m) = (1\ \ 2m - 1). $$ ここに、 $2m - 1$ モジュロで取られます $n$、ここでのその他の操作も同様です。それで、私たちはフォームのすべての転置を構築しました$(1\quad 1 + k(m-1))$。ただし、$m-1$ そして $n$ 互いに素であるため、 $\{0,1,\dots,n-1\}$ 次の形式で書くことができます $k(m-1)$ いくつかのための $k$。だから、私たちはフォームのすべての転置を構築しました$(1\ \ k)$ (にとって $k \in \{1,\dots,n\}$)、それはまさにヒントのポイントでした。

のために $\implies$ 方向:しましょう $d = \gcd(m-1,n)$。ご了承ください$\alpha, \beta$ いつでもその特性を持っている $i \equiv j \pmod d$、それからそれはそれを保持します $\alpha(i) \equiv \alpha(j)$ そして $\beta(i) \equiv \beta(j)$、モジュロ $d$。したがって、サブグループのすべての要素はによって生成されます$\alpha$ そして $\beta$このプロパティもあります。したがって、によって生成されたサブグループがわかります$\alpha$ そして $\beta$ すべてが含まれているわけではありません $S_n$ たとえば、要素 $(1\ \ 2)$ このプロパティはありません。

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