有界正規作用素上の汎関数計算と閉じた縮小部分空間への制限との関係

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Jeff Rubin 2020-06-30 19:17.

に https://math.stackexchange.com/q/3628615/527829、元のポスターは次のようにシーンを設定します。

$A$ ヒルベルト空間上の有界自己随伴作用素です $\mathcal{H}$ そして $W$ は閉じた不変部分空間です。

彼の答えで(https://math.stackexchange.com/a/3628794/527829)マーティンアルゲラミはそれを指摘します $W$ 実際に減少しています $T$

その後、元のポスターは、次のような結果があると述べています $\sigma(A|_W)\subseteq\sigma(A)$ そしてそれ $f(A|_W)=f(A)|_W$。これは次のように解釈されるべきだと思います$(f|_{\sigma(A|_W)})(A|_W)=f(A)|_W$ 有界ボレル関数の場合 $f$ オン $\sigma(A)$

私の質問は次のとおりです。

  1. 任意の閉じた縮小部分空間を持つ有界正規作用素Aに当てはまりますか? $W$
  2. 結果に名前はありますか?または参照?
  3. 汎関数計算の部分はどのように証明されますか?(私は自分でスペクトル部分を証明することができます。)

1 answers

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Jeff Rubin 2020-07-03 19:18.

s.harpの提案のおかげで、私の質問に答えることができます。完全に書き出されたときの答えの長さは驚くべきものです。手書きのメモと一致させるために、表記を変更します。したがって、これが元の質問であり、別の表記法で定理として書かれています。

定理。仮定します$T$ (必ずしも分離可能ではない)ヒルベルト空間上の有界正規作用素です $H$、そして $H_\alpha$ の閉じた縮小部分空間です $T$。あれは、$TH_\alpha\subseteq H_\alpha$、および $T^*H_\alpha\subseteq H_\alpha$ (または同等に、2番目の条件は次のように置き換えることができます $TH_\alpha^\perp\subseteq H_\alpha^\perp$)。次に

  1. $T_\alpha=T|_{H_\alpha}$ 上の有界正規作用素です $H_\alpha$
  2. $\sigma(T_\alpha)\subseteq\sigma(T)$
  3. しましょう $E$ そして $E'$ のアイデンティティの決議である $T$ そして $T_\alpha$、それぞれ、 $B_T$ そして $B_{T_\alpha}$ のボレルサブセットである $\sigma(T)$ そして $\sigma(T_\alpha)$、それぞれ。その後、すべてのために$e\in B_T$\ begin {equation *} e \ cap \ sigma(T_ \ alpha)\ in B_ {T_ \ alpha} \ quad \ text {and} \ quad E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))= E (e)| _ {H_ \ alpha}、\ end {equation *}
  4. 場合 $\mathscr{B}_T$ そして $\mathscr{B}_{T_\alpha}$ 上の有界複雑なボレル関数のファミリーです $\sigma(T)$ そして $\sigma(T_\alpha)$、それぞれ、およびif $f_\alpha=f|_{\sigma(T_\alpha)}$ その後、すべてのために $f\in\mathscr{B}_T$\ begin {equation *} f_ \ alpha \ in \ mathscr {B} _ {T_ \ alpha} \ quad \ text {and} \ quad f_ \ alpha(T_ \ alpha)= f(T)| _ {H_ \ alpha} \ end {equation *}

証明。有界正規作用素のスペクトル定理について言及するときは、Rudin、Functional Analysis、第2版、12.21-12.24を参照しています。以来$H_\alpha$ のために減少しています $T$$T_\alpha$ そして $(T^*)_\alpha$ ヒルベルト空間の有界作用素です $H_\alpha$。ために$x_\alpha,y_\alpha\in H_\alpha$\ begin {equation *}(x_ \ alpha、(T_ \ alpha)^ * y_ \ alpha)=(T_ \ alpha x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(Tx_ \ alpha、y_ \ alpha)=(x_ \ alpha、T ^ * y_ \ alpha)=(x_ \ alpha、(T ^ *)_ \ alpha y_ \ alpha)、\ end {equation *} so$(T_\alpha)^*=(T^*)_\alpha$ そしてそれを次のように書きます $T_\alpha^*$。ために$x_\alpha\in H_\alpha$\ begin {equation *} T_ \ alpha T_ \ alpha ^ * x_ \ alpha = T_ \ alpha T ^ * x_ \ alpha = TT ^ * x_ \ alpha = T ^ * Tx_ \ alpha = T ^ * T_ \ alpha x_ \ alpha = T_ \ alpha ^ * T_ \ alpha x_ \ alpha、\ end {equation *} so$T_\alpha$は普通。これは#1を証明します。

仮定します $\lambda\in\rho(T)$。しましょう$S=(\lambda I-T)^{-1}\in\mathscr{B}(H)$、上の有界線形演算子 $H$。しましょう$x\in SH_\alpha$。しましょう$x=x_\alpha+x_\alpha^\perp$、 どこ $x_\alpha\in H_\alpha$ そして $x_\alpha^\perp\in H_\alpha^\perp$。次に$(\lambda I-T)x_\alpha\in H_\alpha$$(\lambda I-T)x_\alpha^\perp\in H_\alpha^\perp$、および $$(\lambda I-T)x_\alpha+(\lambda I-T)x_\alpha^\perp=(\lambda I-T)x\in H_\alpha,$$ 以来 $x\in (\lambda I-T)^{-1}H_\alpha$。したがって、$(\lambda I- T)x_\alpha^\perp=0$、 そう $x_\alpha^\perp=0$ 以来 $\lambda I-T$1対1です。したがって、$x=x_\alpha\in H_\alpha$、 そのため $SH_\alpha\subseteq H_\alpha$。逆に、$x_\alpha\in H_\alpha$、その後 $y=(\lambda I-T)x_\alpha\in H_\alpha$ そして $x_\alpha=Sy$ そう $SH_\alpha=H_\alpha$。定義する$S_\alpha=S|_{H_\alpha}$。次に$S_\alpha$ 線形、連続、1対1で $H_\alpha$、 そう $S_\alpha\in\mathscr{B}(H_\alpha)$、そしてすべてのために $x_\alpha\in H_\alpha$\ begin {equation *} S_ \ alpha(\ lambda I_ \ alpha-T_ \ alpha)x_ \ alpha = S(\ lambda IT)x_ \ alpha = x_ \ alpha =(\ lambda IT)Sx_ \ alpha =(\ラムダI_ \ alpha-T_ \ alpha)S_ \ alpha x_ \ alpha、\ end {equation *} so$\lambda I_\alpha-T_\alpha$$S_\alpha\in\mathscr{B}(H_\alpha)$、wherece $\lambda\in\rho(T_\alpha)$。これは#2を証明します。

しましょう $P_\alpha$ の正射影である $H_\alpha$。その後、$x\in H$、 書く $x=x_\alpha+x_\alpha^\perp$、 どこ $x_\alpha\in H_\alpha$ そして $x_\alpha^\perp\in H_\alpha^\perp$。それから$TH_\alpha^\perp\subseteq H_\alpha^\perp$ そして $TH_\alpha\subseteq H_\alpha$\ begin {equation *} P_ \ alpha Tx = P_ \ alpha Tx_ \ alpha + P_ \ alpha Tx_ \ alpha ^ \ perp = P_ \ alpha Tx_ \ alpha = Tx_ \ alpha = TP_ \ alpha x、\ end {equation * }つまり、$P_\alpha$ と通勤 $T$、したがって、スペクトル定理により、 $P_\alpha$ と通勤 $E(e)$ すべてのための $e\in B_T$。したがって、$E(e)H_\alpha\subseteq H_\alpha$。しましょう$p(\sigma(T))$ 上のすべての複雑な連続関数の代数である $\sigma(T)$ として表現可能 $p(\lambda,\bar{\lambda})$、 どこ $p(\nu,\gamma)$は、複素係数を持つ2つの複素変数の多項式です。次に、ストーン・ワイエルシュトラスの定理により、$p(\sigma(T))$ で密集しています $C(\sigma(T))$。場合$f\in C(\sigma(T))$ その後 $f_\alpha=f|_{\sigma(T_\alpha)}\in C(\sigma(T_\alpha))$#2によって。場合$f(\lambda)=\sum_{i=1}^kc_i\lambda^{p_i}\bar{\lambda}^{q_i}\in p(\sigma(T))$、次にスペクトル定理により、 $x_\alpha,y_\alpha\in H_\alpha$$f(T)=\sum_{i=1}^kc_iT^{p_i}T^{*q_i}$ そして $f_\alpha(T_\alpha)=\sum_{i=1}^kc_iT_\alpha^{p_i}T_\alpha^{*q_i}$および\ begin {equation *} \ begin {split} \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!f_ \ alpha(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda) &= \ Biggl(\ biggl(\ sum_ {i = 1} ^ kc_iT_ \ alpha ^ {p_i} T_ \ alpha ^ {* q_i} \ biggr)x_ \ alpha、y_ \ alpha \ Biggr)= \ Biggl(\ biggl (\ sum_ {i = 1} ^ kc_iT ^ {p_i} T ^ {* q_i} \ biggr)x_ \ alpha、y_ \ alpha \ Biggr)\\&= \ int _ {\ sigma(T)} \!f( \ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad(f \ in p(\ sigma(T)))。\ quad \ text {(1 )} \ end {split} \ end {equation *} If$f\in C(\sigma(T))$$\{f_n\}\subseteq p(\sigma(T))$ そのようなこと $f_n(\lambda)\to f(\lambda)$ 均一に $\sigma(T)$ (つまり、 $C(\sigma(T))$)。次に$f_{n,\alpha}(\lambda)\to f_\alpha(\lambda)$ 均一に $\sigma(T_\alpha)$。スペクトル定理により\ begin {equation *} \ lvert((f(T)-f_n(T))x_ \ alpha、y_ \ alpha)\ rvert \ leq \ lvert \ lvert f(T)-f_n(T)\ rvert \ rvert \、\ lvert \ lvert x_ \ alpha \ rvert \ rvert \、\ lvert \ lvert y_ \ alpha \ rvert \ rvert \ to 0 \ end {equation *} as$n\to\infty$。同様に、$\lvert((f_\alpha(T_\alpha)-f_{n,\alpha}(T_\alpha))x_\alpha,y_\alpha)\rvert\to 0$。したがって、(1)とスペクトル定理により、\ begin {equation *} \ begin {split} \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!f_ \ alpha(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)&= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!f_ {n、\ alpha}(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T)} \!f_n(\ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)\\&= \ int _ {\ sigma(T)} \!f(\ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad(f \ in C(\ sigma(T)))。\ quad \ text {(2)} \ end {split} \ end {equation * }しましょう$d(\lambda,S)$ からの距離 $\lambda$$S\subseteq\mathbb{C}$$d(\lambda,S)=\inf\,\{\lvert\lambda-s\rvert:s\in S\}$$d$ の関数として連続です $\lambda\in\mathbb{C}$。しましょう$e$ の閉集合である $\sigma(T)$。ために$n=1,2,\dots$$f_n(\lambda)=\max(0,1-nd(\lambda,e))$ ために $\lambda\in\sigma(T)$。次に$\{f_n\}\subseteq C(\sigma(T))$$0\leq f_n,f_{n,\alpha}\leq 1$$f_n(\lambda)\to\chi_e(\lambda)$ すべてのために $\lambda\in\sigma(T)$、および $f_{n,\alpha}(\lambda)\to\chi_{e\cap\sigma(T_\alpha)}(\lambda)$ すべてのために $\lambda\in\sigma(T_\alpha)$。以来$\chi_{\sigma(T)}\in L^1(\lvert E_{x_\alpha,y_\alpha}\rvert)$$\chi_{\sigma(T_\alpha)}\in L^1(\lvert E'_{x_\alpha,y_\alpha}\rvert)$、および $\lvert f_n\rvert\leq\chi_{\sigma(T)}$ そして $\lvert f_{n,\alpha}\rvert\leq\chi_{\sigma(T_\alpha)}$ ために $n=1,2,\dots$、(2)と複素測度の優収束定理、およびスペクトル定理により、\ begin {equation *} \ begin {split}(E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)&= \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!\ chi_ {e \ cap \ sigma(T_ \ alpha)}(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!f_ {n、\ alpha}(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha 、y_ \ alpha}(\ lambda)\\&= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T)} \!f_n(\ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha} (\ lambda)= \ int _ {\ sigma(T)} \!\ chi_e(\ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)\\&=(E(e)x_ \ alpha 、y_ \ alpha)\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {($e$ 閉まっている $\subseteq\sigma(T)$)。} \ quad(3)\ end {split} \ end {equation *}

ましょう(E '(E \キャップ\シグマ(T_ \アルファ))X_ \アルファ、Y_ \アルファ)=(E(E)X_ {式*} \ mathscr {M} = \ {E \ B_Tで開始\ \ alpha、y_ \ alpha)\ text {for all} x_ \ alpha、y_ \ alpha \ in H_ \ alpha \}。\端{式*}とし$e\in\mathscr{M}$。次に、\ begin {equation *} \ begin {split} E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))+ E'(e ^ c \ cap \ sigma(T_ \ alpha))= E '(\ sigma( T_ \ alpha))&= I_ \ alpha \ quad \ text {and} \\ E(e)+ E(e ^ c)= E(\ sigma(T))&= I、\ end {split} \ end {equation *} so \ begin {equation *} \ begin {split}(E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)&+(E'(e ^ c \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(I_ \ alpha x_ \ alpha、y_ \ alpha)\\&=(I x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(E(e)x_ \ alpha、y_ \ alpha)+(E(e ^ c)x_ \ alpha、y_ \ alpha)、\ end {split} \ end {equation *}したがって、$$(E'(e^c\cap\sigma(T_\alpha))x_\alpha,y_\alpha)=(E(e^c)x_\alpha,y_\alpha),$$ そう $e^c\in\mathscr{M}$

場合 $e,e'\in\mathscr{M}$、その後 $E'(e'\cap\sigma(T_\alpha))x_\alpha, E(e)y_\alpha\in H_\alpha$および\ begin {equation *} \ begin {split}(E '((e \ cap e')\ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)&=(E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))E '(e' \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)\\&=(E(e)E '(e' \ cap \ sigma( T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(E '(e' \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、E(e)y_ \ alpha)\\&=(E(e ')x_ \ alpha、E(e)y_ \ alpha)=(E(e)E(e')x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(E(e \ cap e ')x_ \ alpha、y_ \ alpha )、\ end {split} \ end {equation *} so$e\cap e'\in\mathscr{M}$

仮定します $\{e_1,e_2,\dots\}\subseteq\mathscr{M}$互いに素です。次に、\ begin {equation *}(E '((\ cup_n e_n)\ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty(E'(e_n \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty(E(e_n)x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(E(\ cup_n e_n) x_ \ alpha、y_ \ alpha)、\ end {equation *} so$$e=\bigcup_{n=1}^\infty e_n\in\mathscr{M}.$$

場合 $\{e_1,e_2,\dots\}$ 互いに素ではない、 $$e_n'=e_n\cap\biggl(\bigcup_{i=1}^{n-1}e_n'\biggr)^c\qquad(n=1,2,\dots).$$ 帰納法により、 $\{e_1',e_2',\dots\}$ これまでに示されたものと一緒に互いに素であり、誘導によって、 $\{e_1',e_2',\dots\}\subseteq\mathscr{M}$。以来$$\bigcup_{n=1}^\infty e_n=\bigcup_{n=1}^\infty e_n',$$ 私たちはそれを持っています $e=\cup_n e_n\in\mathscr{M}$、 そう $\mathscr{M}$$\sigma$-の閉集合を含む代数 $\sigma(T)$、 そう $\mathscr{M}=B_T$。これは、\ begin {equation *}(E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha、y_ \ alpha)=(E(e)x_ \ alpha、y_ \ alpha)\ qquad(x_ \ alpha、y_ \ alpha \ in H_ \ alpha、\、e \ in B_T)。\ quad(4)\ end {equation *}(4)はすべてに当てはまるので$y_\alpha\in H_\alpha$\ begin {equation *} E '(e \ cap \ sigma(T_ \ alpha))x_ \ alpha = E(e)x_ \ alpha \ qquad(x_ \ alpha \ in H_ \ alpha、\、e \ in B_T)\ end {equation *}したがって、$E'(e\cap\sigma(T_\alpha))=E(e)|_{H_\alpha}\quad(e\in B_T)$、これは#3を証明します。

仮定します $f\in\mathscr{B}_T$ そして $f\geq 0$。しましょう$\{s_n\}$ で囲まれた単純なボレル測度マップのシーケンスである $f$、均一に収束 $\sigma(T)$$f$。次に$\{s_{n,\alpha}\}$ 一様に収束する $\sigma(T_\alpha)$$f_\alpha$。いう$$s_n(\lambda)=\sum_{i=1}^{k_n} c_{n,i}\chi_{e_{n,i}}(\lambda).$$スペクトル定理により\ begin {equation *} \ lvert((f(T)-s_n(T))x_ \ alpha、y_ \ alpha)\ rvert \ leq \ lvert \ lvert f(T)-s_n(T)\ rvert \ rvert \、\ lvert \ lvert x_ \ alpha \ rvert \ rvert \、\ lvert \ lvert y_ \ alpha \ rvert \ rvert \ to 0 \ end {equation *} as$n\to\infty$。同様に、$\lvert((f_\alpha(T_\alpha)-s_{n,\alpha}(T_\alpha))x_\alpha,y_\alpha)\rvert\to 0$。スペクトル定理と(4)により、\ begin {equation *} \ begin {split}(f_ \ alpha(T_ \ alpha)x_ \ alpha、y_ \ alpha)&= \ lim_ {n \ to \ infty} \ 、(s_ {n、\ alpha}(T_ \ alpha)x_ \ alpha、y_ \ alpha)= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T_ \ alpha)} \!s_ {n、\ alpha}(\ lambda)\、dE'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)\\&= \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {k_n} c_ {n、i} E'_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(e_ {n、i} \ cap \ sigma(T_ \ alpha))= \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {k_n} c_ {n、i} E_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(e_ {n、i})\\&= \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {\ sigma(T)} \!s_n(\ lambda)\、dE_ {x_ \ alpha、y_ \ alpha}(\ lambda)= \ lim_ {n \ to \ infty} \、(s_n(T)x_ \ alpha、y_ \ alpha)\\&=(f(T)x_ \ alpha、y_ \ alpha)\ qquad \ qquad \ qquad(x_ \ alpha、y_ \ alpha \ in H_ \ alpha)。\ end {split} \ end {equation *}以来$P_\alpha$ と通勤 $E(e)$ すべてのための $e\in B_T$、スペクトル定理により、 $P_\alpha$ 通勤も $f(T)$ すべてのための $f\in\mathscr{B}_T$。したがって、$f(T)H_\alpha\subseteq H_\alpha$、 そう $f_\alpha(T_\alpha)x_\alpha=f(T)x_\alpha$ すべてのために $x_\alpha\in H_\alpha$、wherece $f_\alpha(T_\alpha)=f(T)|_{H_\alpha}$。場合$f$ が正ではない場合、それを実数と虚数の正と負の部分に分解できます。これらはすべて正であり、最終的に次のようになります。 $f_\alpha(T_\alpha)=f(T)|_{H_\alpha}$、これは#4を証明し、定理の証明を完了します。

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