微分可能性と連続性に関する問題

質問があるとします。

関数fが次のように定義されている場合、aとbの値を見つけます。 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+3 x+a, x \leq 1 \\ b x+2, x>1 \end{array}\right. $$

だから、私の先生が私にやるように頼んだのはこれです、計算してください $LHD$ そして $RHD$ （左微分と右微分）

で $x=1$

$LHD$ は、 $$ \begin{array}{l} \quad \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+h^{2}-2 h+3-3 h-4-2+2}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}-5 h}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(5-h) \\ =5 \end{array} $$ $f(1-h)$ の場合を意味します $x < 1$、使用する必要があることを意味します $x^{2}+3 x+a$

そして $f(1)$ 同じ場合を意味します $x \leq 1$ そして $RHD$ は、

警告：これは問題のある領域です

$$ \begin{array}{l} \quad \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{b+b h+2-b(1)-2}{h} \\ =b \end{array} $$

彼らはで微分可能に与えられているので $x=1$。

それらを同等にする、

$LHD=RHD$

$b=5$ そして連続性を使用します（ $LHL$ そして $RHL$ そして $f(1)$）別の方程式を見つけ、それを解いて見つける $a$ 与える $a=3$、および $b=5$

さて、 $RHD$ 彼は間違ったケースを使用しませんでした $f(1)$、彼はケースを使用する必要があります $x \leq 1$、なぜ彼は一体何を使用したのですか $x>1$、および

誰もが私にこれの背後にある論理は私たちが計算しているということだと言っています $RHD$、これはすべてがの正しい近傍にあることを意味します $1$ でも $f(1)$、私は論理を取得しますが、それはまだ数学の規則を破っています、

私がしていることは、

私は計算します $LHL$ そして $RHL$ そしてf（1）とそれらを等しくして同じ方程式を得る、そうです、私は私の先生として連続性の方程式を持っています。 $LHL$ $$ \begin{array}{l} \quad \lim _{x \rightarrow 1^{-}} (x^{2}+3 x+a) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} (1+h^{2}-2 h+3-3 h+a) \\ =4+a \end{array} $$ $RHL$ $$ \begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(b x+2) \\ \lim _{h \rightarrow 0}(b+b h+2) \\ \quad=b+2 \end{array} $$ さて、 $$ \begin{array}{c} L H L=R H L \\ b+2=4+a \\ b-a=2 \hspace{10mm}. ..eq(1) \end{array} $$ 今、微分可能性を解きます、同じ $LHD$、 $$ \begin{array}{l} \quad \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+h^{2}-2 h+3-3 h-4-2+2}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}-5 h}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(5-h) \\ =5 \end{array} $$ そして今 $RHD$、 $$ \begin{array}{c} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{b+b h+2-4-a}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{b+b h-2-a}{h} \\ \text { Using } eq(1)... \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2+b h-2}{h} \\ =\quad b \end{array} $$ $$ b=5\\ a=3 $$

私は正しいケースを使用しました $f(1)$ あれは、 $x^{2}+3 x+a$、 ために $x \leq 1$

そう、 $f(1)=4+a$、

だから、誰がこれを正しくしたのか、 $x>1$ の場合 $RHD$、または実際に使用した私 $x \ leq 1$ 場合。

私たちが知っているように、これは私が思うことです、差別化と継続性は関連しています

微分可能関数は常に連続ですが、すべての連続関数が微分可能であるとは限りません。

したがって、連続性は微分可能性を解くために非常に必要なステップであるため、最初に連続性を解く必要があります。私がしたように。

何か言うだけ？彼は正しいですか？

問題が関数が連続であると言っているとき、あなたが両方ともしたことは正しいです、そしてそれは意味します $x^2+3x+a$ と等しくなければなりません $bx+2$ だからあなたが代用すれば $f(1)$ それらのいずれかが含まれていない場合、それらは同じ興味深いことが起こります $1$そのドメインには制限演算子がありますが、それは別の話です。この場合$f(1)$ 関数は連続であるため、どちらを選択しても同じになります。

これは漠然とした感覚です $f'(x)=2x+3$ ために $x\le1$ そして $f'(x)=b$ ために $x>1$

の微分可能について $f(x)$、 $f'(x)$ 連続している必要があるので $b=5$ さらに、自分で行うことができます。

お役に立てれば。