正規表現との共通部分、準同型、および準同型の逆について言及せずに正規表現を定義できるのはなぜですか?

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Tim 2020-06-22 06:00.

通常のセットのファミリーは、最小の完全なトリオ(通常のセット、準同型、および準同型の逆との交差の下で閉じられます)であり、最小の完全なAFL(和集合、連結、およびクリーネ閉包の下で閉じられます)でもあります。

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_expression#Formal_definition 和集合、連結、およびクリーネ閉包の下での閉鎖の観点からです。

正規表現は、3つの完全なトリオ演算(正規集合との共通部分、準同型、および準同型の逆)の下で閉包に言及せずに定義できるのはなぜですか?

言語のファミリーが和集合、連結、およびクリーネ閉包の下で閉じられている場合、それは必然的に通常の集合、準同型、および準同型の逆との交差の下で閉じられますか?(Ullmanのオートマトン、言語、および計算概要では、和集合、連結、または通常の集合との交差の下でのクロージャは、AFLの定義の他の5つの演算のクロージャから導出できるとのみ言及しています。)

ありがとう。

1 answers

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J.-E. Pin 2020-06-22 19:16.

答えはいいえだ。非正規言語を使用する$L$ アルファベットで $A = \{a, b\}$、 いう $L = \{a^nb^n \mid n \geqslant 0\}$ 家族を考慮します ${\cal L} = \{L^*\}$。次に$\cal L$ 和集合、積、星の下で閉じられますが、通常の集合との交差(任意の補有限言語との交差を取る)、準同型(射を取る)の下では閉じられません $\varphi$ によって定義されます $\varphi(u) = 1$ すべての単語のために $u$)、準同型の逆(同じを取る $\varphi$ そしてそれを観察する $\varphi^{-1}(L^*) = A^*$)。

また、最初の質問「クロージャーに言及せずに正規表現を定義できるのはなぜですか...」にも答えさせてください。正規言語は、正規表現を使用して定義されることもあれば、オートマトンを使用して定義されることもあります。これらの2つの定義が同じクラスを定義している限り、害はありません。これはKleeneの定理であり、正規言語は共通部分と補集合の下で閉じられることを意味します。ただし、これら2つの定義は、以下で説明するより一般的な設定では同等ではなくなりました。

しましょう $M$モノイドになります。合理的なサブセット$M$有限の和集合、積、星の演算を使用してシングルトンから定義されたものです。ここでは、2つのサブセットの積です$S$ そして $T$ セットです $ST = \{st \mid s \in S, t \in T\}$ そして $S^*$ のサブモノイドです $M$ によって生成されます $S$。しかし現在、有理集合は必ずしも共通部分または補数の下で閉じられているわけではありません。それらは準同型の下で閉じられますが、必ずしも準同型の逆の下ではありません。

サブセット $P$$M$ある認識有限モノイドがある場合$F$ とモノイド準同型 $f: M \to F$ そのような $P = f^{-1}(f(P))$。認識可能な集合が有限の和集合、有限の共通部分、準同型の補集合および逆集合の下で閉じられていることを示すことができます。ただし、準同型では必ずしも閉じているわけではありません。

言語に戻るには、 $M$ は自由モノイドであり、有理数と認識可能の2つの概念は一致し、両方とも通常の集合を定義します。

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