次の積分は収束しますか? $ \int\limits_0^\pi\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\ dx $

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Bonrey 2020-06-20 01:53.

次の積分は収束しますか? $$ \int\limits_0^\pi\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\ dx $$

私はしばらくの間そのような問題を解決していません。だから、誰かが私にヒントをくれたら本当にありがたいです。

または多分私の解決策は正しいですか? $$ \sin x\sim x\Rightarrow\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\sim\sqrt{x} $$ $$ \int\limits_0^\pi\sqrt{x}\ dx\ \ \text{is convergent} $$ したがって、初期積分も収束します。

5 answers

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Claude Leibovici 2020-06-20 02:57.

それの楽しみのためだけに!

収束の問題が解決されているので、この種の積分(および不定積分;ここを見てください)の分析的な解決策があります。

@Von Neumannが複素数が現れるところに答えを書いたので、私は何が $1,400$ 年の概算 $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ 7世紀のインドの数学者であるバースカラ1世のマハバスカリヤによって提案されました。 $$\int\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}\, dx \sim \int \frac{16 (\pi -x) \sqrt{x}}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x} \,dx=$$ そして積分は$$-8 \sqrt{\pi }+2 i \sqrt{(-2-4 i) \pi } \cot ^{-1}\left(\sqrt{-\frac{1}{2}-i}\right)-(4+3 i) \sqrt{\left(-\frac{2}{5}+\frac{4 i}{5}\right) \pi } \cot ^{-1}\left(\sqrt{-\frac{1}{2}-i}\right)-2 i \sqrt{(-2+4 i) \pi } \cot ^{-1}\left(\sqrt{-\frac{1}{2}+i}\right)-(4-3 i) \sqrt{\left(-\frac{2}{5}-\frac{4 i}{5}\right) \pi } \cot ^{-1}\left(\sqrt{-\frac{1}{2}+i}\right)$$ これは $\approx 1.78995$ 「正確な」値は $1.78966$

編集

もう1つの驚くべき近似は $$\sin(x)=\pi \sum_{n=1}^\infty a_n \Big[\left(1-\frac x \pi\right)\frac x \pi\Big]^n$$ ここで係数 $a_n$ シーケンスを作成します $$\left\{1,1,2-\frac{\pi ^2}{6},5-\frac{\pi ^2}{2},14-\frac{3 \pi ^2}{2}+\frac{\pi ^4}{120},42-\frac{14 \pi ^2}{3}+\frac{\pi ^4}{24},132-15 \pi ^2+\frac{\pi ^4}{6}-\frac{\pi ^6}{5040}\right\} $$

これにより、統合が非常に簡単になります $$\int\limits_0^\pi\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}\, dx=\pi ^2\sum_{n=1}^\infty \frac{\Gamma (2 n+1)}{4^n \,\Gamma \left(2 n+\frac{3}{2}\right)}\,a_n$$ を使用して $a_n$が表に示されている場合、定積分は次のようになります。 $$\frac{4 \pi ^{3/2} \left(46190338425-595324620 \pi ^2+1781520 \pi ^4-704 \pi ^6\right)}{503889568875}$$ これは $1.789662938921$ 正確な値は $1.789662938968$

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Oliver Diaz 2020-06-20 07:06.

これは、収束のみの問題に対するより歩行者向けの解決策です。 $\Big|\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\Big|\leq t^{-1/2}$。上限は収束することが知られています。それを思い出します$\int^1_0x^{-p}\,dx$ 収束する $p<1$ あなたが見ることによってあなた自身を納得させることができるように $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int^1_\varepsilon x^{-p}\,dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{1-p}x^{1-p}|^1_\varepsilon=\frac{1}{1-p}$ いつ $p<1$

他の人が示しているように、値を見積もるには、いくつかの巧妙なトリックが必要です。

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Jack D'Aurizio 2020-06-20 06:55.

もちろん、それは収束積分であり、被積分関数は次のように動作します $\sqrt{x}$ ために $x\to 0^+$ そしてそれは継続的です $[0,\pi]$

単純な数値近似を生成するために、ラプラス変換が上の標準内積に関して自己随伴演算子であるという事実を利用します。 $\mathbb{R}^+$

$$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{+\infty}\sin(x)\mathbb{1}_{(0,\pi)}(x)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{0}^{+\infty}\frac{1+e^{-\pi s}}{\sqrt{\pi s}(1+s^2)}\,ds $$ 等しい $$ \sqrt{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi s}\,ds}{\sqrt{\pi s}(1+s^2)}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{e^{\pi u^2}(1+u^4)}. $$ パデ近似を使用して $\exp\left(-\frac{\pi}{2}u^2\right)$ 我々は持っています

$$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\,dx \approx \sqrt{\frac{\pi}{2}}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1-\pi u^2/4}{1+\pi u^2/4}\right)^2\frac{du}{1+u^4} $$ ここで、RHSはの有理式です。 $\sqrt{\pi}$ そして $\sqrt{2}$ その値は非常に近い $1.813$。ここでの相対誤差は$\approx \frac{13}{1000}$そして、より高次のパデ近似を考慮することによって、それをさらに減らすことができます。たとえば、近似単位

$$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\,dx \approx \sqrt{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1-\pi s/4+\pi^2 s^2/48}{1+\pi s/4+\pi^2 s^2/48}\right)^2\frac{ds}{\sqrt{\pi s}(1+s^2)}$$ 相対誤差があります $\approx \frac{5}{1000}$
非常に単純な放物線近似であることは言及する価値があります$\sin(x)\approx \frac{4}{\pi^2}x(\pi-x)$ すでに降伏 $$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{x}\approx \frac{16}{15}\sqrt{\pi}$$ 相対誤差あり $\approx \frac{11}{195}$。に一致する4次多項式を選択すると$\sin(x)$$f(0),f'(0),f(\pi/2),f(\pi),f'(\pi)$ とても美しくなります $$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx \approx {\frac{4\sqrt{\pi}}{315}(5\pi+64)}$$ その相対誤差は $\approx \frac{1}{411}$。カバーするために6次多項式に切り替える$f''(0)=f''(\pi)=0$ 私たちも $$\boxed{\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx \approx \color{red}{\frac{4\sqrt{\pi}}{9009}(235\pi+1536)}}$$ 相対誤差はBhaskaraの近似に勝るだけなので、 $\approx \frac{1}{14507}$。正直なところ、バースカラの近似は、の均一誤差を減らすことに焦点を合わせているため、ここでは最適ではありません。$[0,\pi]$、私たちの場合は、原点のすぐ近くで非常に厳密に制御するのが最善です(ここで $1/\sqrt{x}$ 無制限です)そしてただ緩いもののために $x\to \pi^-$。たとえば、Maclaurin級数の用語ごとの統合$\sin(x)$、 で割った $\sqrt{x}$、収量

$$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \pi^{2n+\frac{3}{2}}}{(2n+3/2)(2n+1)!}\approx \sum_{n=0}^{7}\frac{(-1)^n \pi^{2n+\frac{3}{2}}}{(2n+3/2)(2n+1)!} $$ これは非常に正確です $\sin(x)$ は整関数であるため、最後のシリーズは非常に高速で収束します。

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Yves Daoust 2020-06-20 02:06.

問題ありません、被積分関数は有界です(によって正当化されます $\dfrac{\sin x}{\sqrt x}=\dfrac{\sin x}x{\sqrt x}$)。

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Turing 2020-06-20 02:03.

それは私にとって良いことです。

あなたはちょうど積分の極値を研究しました:として $x\to 0$ あなたの関数は次のようになります $\sqrt{x}$

なので $x\to \pi$ 関数はゼロになる傾向があります。

したがって、これらの境界を持つ関数によって記述された領域は閉じられ、制限され、積分は収束します。

詳細については、グラフィック漸近解析を開発できます。

なので $x\to 0$ 関数 $f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ 次のようになります:

関数全体が連続しているのに対し、 $[0, π]$

好奇心のために私たちは持っています:

$$\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\ \text{d}x = \frac{1}{2} \sqrt[4]{-1} \sqrt{\pi } \left(\text{erf}\left(\sqrt[4]{-1} \sqrt{\pi }\right)-\text{erfi}\left((1+i) \sqrt{\frac{\pi }{2}}\right)\right)$$

ソリューションの本当の部分は $\approx 1.78966(...)$

(非常に悪い方法で)関数を次のように近似すると、 $\sqrt{x}$ 例えばから $0$$\pi /2$ 私たちは得るでしょう:

$$\int_0^{\pi/2} \sqrt{x}\ \text{d}x \approx 1.31247(...)$$

私が言ったように、それは悪いですが、それはあなたに考えを与えます。

つまり、メソッドを楽しんでください!

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