検索 $a \in \mathbb R$ そのような $\sin^2(x) -\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = a$ で解ける $\mathbb{R}$

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Rodrigo Pizarro 2020-06-19 11:58.

検索 $a \in \mathbb R$ そのような $\sin^2(x) -\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = a$ で解ける $\mathbb{R}$

この式をさらに単純化して条件を見つける方法がわかりません $a$

私の試み:

私はLHSを因数分解しようとしました:

$$\sin^2(x) -\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = a$$ $$(\sin(x)-2\cos(x))(\sin(x)+\cos(x))= a$$ $$\sqrt{10}\sin(x-\tan^{-1}(2))\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = a$$

この後、私はどのように進めるかわかりません(それが正しい方法であるかどうかさえわかりません)。

ヒントはありますか?

4 answers

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Shiv Tavker 2020-06-19 12:07.

の範囲が欲しいだけです $\sin^2(x) -\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x)$。場合$a$この範囲にあるので、問題は解決可能であると言えます。ヒント:これを区別して次のように設定するとどうなりますか$0$?を使用して最大値と最小値を評価できますか$3\sin(2x^*) - \cos(2x^*) = 0$

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DonAntonio 2020-06-19 12:14.

以来

$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2\;,\;\;\cos^2x=\frac{\cos2x+1}2\;,\;\;\cos x\sin x=\frac12\sin2x$$

私たちはあなたの方程式を次のように書くことができます

$$\frac12-\frac12\cos2x-\frac12\sin2x-\cos2x-1=a\implies-\frac12-\frac32\cos2x-\frac12\sin2x=a\implies$$

$$-3\cos2x-\sin2x=a+\frac12\implies3\cos2x+\sin2x=-a-\frac12$$

ブス

$$-3-1=-4\le3\cos3x+\sin2x\le3+1=4\implies...$$

議論を終える

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hamam_Abdallah 2020-06-19 12:13.

あなたの方程式は次のように書くことができます

$$6\sin^2(x)-\sin(2x)=2(a+2) $$ または

$$3(1-\cos(2x))-\sin(2x)=2(a+2) $$ そして

$$3\cos(2x)+\sin(2x)=-2a-1 $$ これは

$$\sqrt{10}\cos(2x+\alpha)=-2a-1$$

したがって、条件は $$\boxed{-1\le \frac{2a+1}{\sqrt{10}}\le 1}$$

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lab bhattacharjee 2020-06-19 18:13.

ヒント:

にとって $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$

両側をで割る $\cos^2x$ 見つけるには $$at^2+bt+c=d(1+t^2)\iff t^2(a-d)+bt+c-d=0$$

これはの二次方程式です $t=\tan x$ これは本物なので、判別式は $\ge0$

すなわち、 $$b^2-4(a-d)(b-d)\ge0\iff 4d^2-4(a+b)d+4ab-b^2\le0$$

のルーツが $$4d^2-4(a+b)d+4ab-b^2=0$$ です $r_1,r_2; r_1\le r_2$

$$r_1\le d\le r_2$$

両側をで割ることができます $\sin^2x$ で二次方程式を形成するには $\cot x$ 同じ結果に到達します。

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