積分の漸近展開

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cerise 2020-06-15 12:46.

しましょう $u_n=\displaystyle\int_0^1f(x)^{n-1}dx$ そして $f(x)=1+ax-bx^2$$a>2b$$a>b$$a\geq 0$。証明してください$$u_n\sim\dfrac{(f(1))^n}{nf'(1)}$$

この問題を解決する方法がわかりません。それを解決するためのアイデアはありますか?

編集:ロバートイスラエルのヒントで 、置く$y= 1+ax-bx^2$ そしてしましょう $\alpha = 1+a-b$ その後、計算後 $$u_n=\int_1^{\alpha}\frac {y^{n-1}}{\sqrt {a^2+4b-4by}} dy$$ 置く $t=\frac {y^n}{\alpha ^n}$ その後 $$u_n=\frac {\alpha^n}{n}\int_{\alpha^{-n}}^{1}\frac 1{\sqrt{a^2+4b-4b\alpha t^{\frac 1n}}}\sim \frac {\alpha^n}{n}\int_{0}^{1}\frac 1{\sqrt{a^2+4b-4b\alpha }}\ dt =\frac {\alpha^n}{n (a-2b)}$$ これで証明は終了です。しかし、ラプラスの方法やワトソンの補題の使い方がわかりません。

1 answers

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Gary 2020-06-16 21:40.

最初に注意してください、 $x \in \left[ {0,1} \right]$$f'(x) = a - 2bx \geq a-2b > 0$ そして $f(0)=1$。そう$f(x)\geq 1$ オン $\left[ {0,1} \right]$。したがって、私たちは書くことができます $$ \int_0^1 {f^{n - 1}(x) dx} = \int_0^1 {e^{(n-1)\log f(x)} dx} . $$ 以来 $f'(x) > 0$、指数は積分の間隔で増加し、エンドポイントで最大に達します $x=1$。鞍点がにあるので$x=\frac{a}{2b}>1$、これはラプラスの方法の線形エンドポイントの場合です(たとえば、の式(4.3)を参照)。 http://www.macs.hw.ac.uk/%7Esimonm/ae.pdf)。したがって、 $$ \int_0^1 {e^{(n - 1)\log f(x)} dx} \sim \frac{1}{{n - 1}}\frac{{f(1)}}{{f'(1)}}e^{(n - 1)\log f(1)} \sim \frac{1}{n}\frac{{f^n (1)}}{{f'(1)}} $$ なので $n\to +\infty$

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