証明する方法: $ \gamma +\ln\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \zeta{(n)}}{2^{n-1}n} $

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No-one Important 2020-06-10 09:13.

証明する方法:

$$ \gamma +\ln\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \zeta{(n)}}{2^{n-1}n} $$

取得できるポリガンマ関数のシリーズ定義を見てみました $\gamma$ しかし、ウィキペディアで与えられた定義がこれとまったく同じではないので、私は少し迷っています。

お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

3 answers

3
mrtaurho 2020-06-10 11:21.

この問題は、次の方法でアプローチすると、よく知られている無限の合計と積の評価に簡単に還元されます。\ begin {align *} \ sum_ {n \ ge2} \ frac {(-1)^ n \ zeta(n)} {n2 ^ {n-1}}&= 2 \ sum_ {n \ ge2} \ frac {(-1)^ n} {n2 ^ n} \ sum_ {k \ ge1} \ frac1 {k ^ n} \\ &= 2 \ sum_ {k \ ge1} \ left [\ frac1 {2k}-\ sum_ {n \ ge1} \ frac {(-1)^ {n-1}} n \ left(\ frac1 {2k} \ right)^ n \ right] \\&= 2 \ sum_ {k \ ge1} \ left [\ frac1 {2k}-\ log \ left(1+ \ frac1 {2k} \ right)\ right] \ end {align *}部分和を次のように並べ替えます\ begin {align *} 2 \ sum_ {k = 1} ^ m \ left [\ frac1 {2k}-\ log \ left(1+ \ frac1 {2k} \ right)\ right]&= \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac1k- \ sum_ {k = 1} ^ m \ log \ left(\ left [\ frac {2k + 1} {2k} \ right] ^ 2 \ right)\\&= \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac1k + \ log \ left(\ prod_ {k = 1} ^ m \ left [\ frac {2k} {2k + 1} \ right] ^ 2 \ right)\\&= \ left [\ sum_ {k = 1} ^ m \ frac1k- \ log \ left(k + \ frac12 \ right)\ right] + \ log \ left(\ frac12 \ prod_ {k = 1} ^ m \ left [\ frac {(2k )^ 2} {(2k-1)(2k + 1)} \ right] \ right)\ end {align *}制限を超えています$n\to\infty$、の定義のわずかなバリエーションを使用して https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html 定数と組み合わせて https://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html、 私達は手に入れました $$\lim_{m\to\infty}\left[\sum_{k=1}^m\frac1k-\log\left(k+\frac12\right)\right]+\log\left(\frac12\prod_{k=1}^m\left[\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\right]\right)=\gamma+\log\left(\frac\pi4\right)$$ したがって、

$$\therefore~\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{n2^{n-1}}~=~\gamma+\log\left(\frac\pi4\right)$$

あなたの与えられた結果が正しくないことに注意してください(私はあなたが書くつもりだったと思います $\gamma-\log\left(\frac4\pi\right)$代わりに)。を使用して部分和を検討する前に、結果はすでに続きます。https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Weierstrass's_definition ガンマ関数の。

5
Thomas Andrews 2020-06-10 11:24.

補題:

しましょう $f(z)=\sum_{n=2}^{\infty} a_nz^n$ 半径に収束する $>1.$ 次に:

$$\sum_{n=2}^{\infty} a_n\zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infty} f\left(\frac1k\right)$$

証明:

$$\begin{align}\sum_{n=2}^{\infty} a_n\zeta(n)&=\sum_{n=2}^{\infty} a_n\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}a_n\left(\frac 1k\right)^n\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}f\left(\frac1k\right) \end{align}$$


さて、あなたの場合、 $a_n=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}n}$ 与える $$f(z)=2\sum_{n=2} \frac{(-z/2)^n}{n}=z-2\log(1+z/2)$$

さて、 $$\sum_{k=1}^{N}f(1/k)=H_N - 2\log\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdots\frac{2N+1}{2N}\right)$$

さて、 $H_N-\log N\to \gamma.$ したがって、制限は制限と同じです $$\gamma -2 \log\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdots\frac{2N+1}{2N}\cdot\frac{1}{\sqrt{N}}\right)$$ なので $N\to\infty.$

したがって、次のことを示す必要があります。

$$\lim_{N\to\infty}\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdots\frac{2N+1}{2N}\cdot\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}$$

だが: $$\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdots\frac{2N+1}{2N}=\frac{2N+1}{2^{2N}}\binom{2N}{N}$$

そして、私たちはそれを持っています $\binom{2n}{n}\sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}$ ((https://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient)

だから私たちは持っています:

$$\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdots\frac{2N+1}{2N}\cdot\frac{1}{\sqrt{N}}\sim\frac{2N+1}{N\sqrt{\pi}}\sim \frac{2}{\sqrt{\pi}}$$

1
Felix Marin 2020-08-21 16:42.

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\gamma + \ln\pars{\pi \over 4} = \sum_{n = 2}^{\infty}{\pars{-1}^{n}\,\zeta\pars{n} \over 2^{n - 1}\, n}}:\ {\large ?}}$


\ begin {align}&\ bbox [5px、#ffd] {\ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} {\ pars {-1} ^ {n} \、\ zeta \ pars {n} \ over 2 ^ {n-1} \、n}} = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} {\ pars {-1} ^ {n} \ over 2 ^ {n-1} \、n} \ \オーバーブレース{{1 \ over \ Gamma \ pars {n}} \ int_ {0} ^ {\ infty} {x ^ {n-1} \ over \ expo {x} -1}} ^ {\ ds {\ zeta \ pars {n}}} \ \、\ dd x \\ [5mm] =&\ 2 \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} \ pars {-x / 2} ^ {n} / n!\ over \ expo {x} -1} \、{\ dd x \ over x} = 2 \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ expo {-x / 2} -1 + x / 2 \ over \ expo {x} -1} \、{\ dd x \ over x} \\ [5mm] =&\ \ int_ {0} ^ {\ infty} {2 \ expo {-3x / 2} -2 \ expo { -x} + x \ expo {-x} \ over 1- \ expo {-x}} \、{\ dd x \ over x} \\ [5mm] \ stackrel {x \ = \-\ ln \ pars { t}} {=} \、\、\、&-\ int_ {0} ^ {1} {2t ^ {3/2} -2t -t \ ln \ pars {t} \ over 1-t} \、 {\ dd t \ over t \ ln \ pars {t}} \\ [5mm] =&\-\ int_ {0} ^ {1} {2t ^ {3/2} -2t --t \ ln \ pars { t} \ over 1-t} \ pars {-\ int_ {0} ^ {\ infty} t ^ {\ xi-1} \、\ dd \ xi} \、\ dd t \\ [5mm] =&\ \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} {2t ^ {\ xi + 1/2} -2t ^ {\ xi} --t ^ {\ xi} \ ln \ pars {t } \ over 1-t} \、\ dd t \、\ dd \ xi \\ [5mm] =&\ \ int_ {0} ^ {\ infty} \ bracks {%2 \ int_ {0} ^ {1} {1-t ^ {\ xi} \ over 1-t} \、\ dd t-2 \ int_ {0} ^ {1} {1-t ^ {\ xi + 1/2} \ over 1-t} \、\ dd t- \ int_ {0} ^ {1} {t ^ {\ xi} \ ln \ pars {t} \ over 1-t} \、\ dd t} \ dd \ xi \ label {1} \ tag {1} \ end {align}整数は次のように評価されます。 $$ \left\{\begin{array}{rcl} \ds{\int_{0}^{1}{1 - t^{\xi} \over 1 - t}\,\dd t} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{\xi + 1} + \gamma} \\[1mm] \ds{\int_{0}^{1}{1 - t^{\xi + 1/2} \over 1 - t}\,\dd t} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{\xi + {3 \over 2}} + \gamma} \\[5mm] \ds{\int_{0}^{1}{t^{\xi}\ln\pars{t} \over 1 - t}\,\dd t} & \ds{=} & \ds{\left.-\,\partiald{}{\mu}\int_{0}^{1}{1 - t^{\mu} \over 1 - t}\,\dd t\, \right\vert_{\ \mu\ =\ \xi}} \\[1mm] & = & \ds{\left.-\,\partiald{\Psi\pars{\mu + 1}}{\mu} \,\right\vert_{\ \mu\ =\ \xi} = -\Psi\, '\pars{\xi + 1}} \end{array}\right. $$(\ ref {1})は次のようになります: \ begin {align}&\ bbox [5px、#ffd] {\ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} {\ pars {-1} ^ {n} \、\ zeta \ pars {n} \ over 2 ^ {n-1} \、n}} = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ bracks {%2 \ Psi \ pars {\ xi + 1} -2 \ Psi \ pars {\ xi + {3 \ over 2}} + \ Psi \、 '\ pars {\ xi + 1}} \ dd \ xi \\ [5mm] =&\ \ left.2 \ ln \ pars {\ Gamma \ pars {\ xi + 1} \ over \ Gamma \ pars {\ xi + 3/2}} + \ Psi \ pars {\ xi + 1} \、\ right \ vert _ {\ \ xi \ = \ 0} ^ {\ \ xi \ \ to \ \ infty} \\ [5mm] =&\ \ underbrace {\ lim _ {\ xi \ to \ infty} \ bracks {%2 \ ln \ pars {\ Gamma \ pars {\ xi + 1} \ over \ Gamma \ pars {\ xi + 3/2}} + \ Psi \ pars {\ xi + 1}}} _ {\ ds {= \ 0}} \-\ \ bracks {2 \ ln \ pars {\ Gamma \ pars {1} \ over \ Gamma \ pars {3/2}} + \ Psi \ pars {1}} \\ [5mm] =&\ 2 \ ln \ pars {{1 \ over 2 } \、\ root {\ pi}} + \ gamma = \ bbx {\ gamma + \ ln \ pars {\ pi \ over 4}} \\&\ end {align} with $\ds{\Gamma\pars{1} = 1\,,\ \Gamma\pars{1/2} = \root{\pi}}$ そして $\ds{\Psi\pars{1} = -\gamma}$

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