長さの周期的なバイナリ文字列の1100の数 $n$

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Kartik Chhajed 2020-06-09 23:12.

バイナリ文字列は次のシーケンスです $0$$1$s、例えば、

101101100010111001011000010010011

そして周期的条件とは $a_1 = a_{n+1}$、 どこ $n$ 文字列の長さです。

質問:いくつの数 $1100$sはすべての可能な長さの文字列にあります $n$

母関数を書きたい $g(x)$、いくつ教えてくれます $1100$sは長さの周期的なバイナリ文字列(またはPBS)にあります $n$。私がよく知っている方法は、伝達行列を使用することです。

方法: 数を数えたいとしましょう$11$sをPBSで。転送行列を書くことができます $$T = \begin{pmatrix} x&1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 伝達行列の最大固有値は $$\lambda_+ = \frac{1}{2} \Big(1 + x + \sqrt{5 - 2 x + x^2}\Big)$$

十分に大きな文字列の母関数は単純です $$g(x) = n\ln(\lambda_+)$$ この母関数から、次の数を計算できます。 $11$文字列内のs。同様に、私たちはの数のために行くことができます$01$s、 $10$s、 $00$s。しかし、1100を見つけるにはどうすればよいですか?

ほら、私は転送行列法には特に興味がありません。しかし、これを拡張できるかどうかを知りたいと思います。

1 answers

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Mike Earnest 2020-06-10 06:17.

この簡単な解決策はうまくいくと思います...

それぞれについて $k\in \{1,2,\dots,n\}$、文字列の数を数える $a$ そのために $1100$ 位置で発生します $k$。つまり、対象となるバイナリ文字列の数$(a_k,a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3})=(1,1,0,0)$

合計すると、それぞれについて $k$、の発生数 $1100$ 位置で $k$、次に、の発生の総数を取得します $1100$

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