リー群からの演算子指数のもつれを解き、並べ替える

リー代数を考えてみましょう $\mathfrak{g}$ 要素付き $\{g_1, g_2,\ldots,g_N\}$、指数写像によって定義されたリー群 $\exp(g)$ ために $g\in\mathfrak{g}$。任意の一般的な要素が与えられた$g=\sum_{i}^{N}\alpha_{i}g_{i}$、リー代数についてのどのような事実が私たちが表現できることを真実にしているのか $\exp(g)$ フォームで $$ \exp(g)=\exp(\beta_{1}g_1)\exp(\beta_{2}g_2)\ldots\exp(\beta_{N}g_N)? $$ 私は物理学のバックグラウンドを持っているので、数学言語を正しくしようとする試みを許してください（自由に修正してください）。

物理学の例は、にまたがるリー代数です。 $\{K_0,K_+,K_-\}$ 次の交換関係で： $$ [K_+,K_-]=-2K_{0};\quad [K_0,K_{\pm}]=\pm K_{\pm}. $$ この場合、たとえば、次のように書くことができます。 $$ \exp(\alpha K_{+}+\beta K_{-})=\exp(\gamma K_{+})\exp(\eta K_{-})\exp(\xi K_{0}). $$ したがって、これは、Zassenhaus式のネストされた交換子が終了しないが、有限数の指数因子のみが必要になるように合計できる場合です。

私はまた、どのような状況で私たちが書くことができるかという非常に関連した質問があります $$ \exp(\alpha_{1}g_2)\exp(\alpha_{2}g_1)=\exp(\beta_{1}g_1)\exp(\beta_{2}g_2)\ldots\exp(\beta_{N}g_N). $$ つまり、グループ内の要素の積で記述されたグループ要素の並べ替えです（各要素は最大で1回しか表示されません）。

必要に応じて明確にします。ありがとうございました。

これが最初の質問に対する答えです。

あなたのリー代数は $\mathfrak{sl(2, \mathbb{R})}$。（わかりました、あなたはあなたが取り組んでいることを指定しませんでした$\mathbb{R}$ リー代数内に厳密にとどまる計算では、おそらくやり直すかもしれません $\mathbb{C}$、これは多くの状況で有利ですが、指数写像について話しているとき、これはリー代数に対してのみ意味があります。 $\mathbb{R}$。）

対応するグループの非常に具体的な定義 $SL(2, \mathbb{R})$ 上のすべての2行2列の行列のそれです $\mathbb{R}$。次の（「はい」の答えを提供する）は、いずれかの有限次元の行列のすべてのグループに当てはまります。$\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$。つまり、これまでに必要なほぼすべてのグループが含まれています。$SL(n, \mathbb{R})$、 $SO(p, q)$、 $SU(p, q)$ （3次元）ハイゼンベルク群など。議論のより抽象的なバージョンは、次のようなよりワイルドなグループにも適用されます。 $E_8$ との普遍的なカバー $SL(2, \mathbb{R})$ ただし、ここではこれらについては説明しません。

だからあなたのグループ $G$ 中に座っています $GL(n, \mathbb{C})$ いくつかのための $n$。しましょう$A$ のすべての対角行列のセットである $G$、 $N$ のすべての上三角行列のセットである $G$ 対角線上に1があり、 $\overline{N}$ すべての下三角行列のセットである $1$対角線上にあります。3つすべてに注意してください$A$、 $N$、 $\overline{N}$ のサブグループです $G$。

私達は書く $\mathfrak{a}, \overline{\mathfrak{n}}, \mathfrak{n}$ の部分代数として見られる彼らのリー代数のために $\mathfrak{g}$。以来$\mathfrak{g}$ の部分代数です $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})$ すべてで構成されています $n$-沿って-$n$-行列、私たちはそれを見つけます $\mathfrak{a}$ の対角行列で構成されます $\mathfrak{g}$、 $\mathfrak{n}$ 上三角行列の $0$対角線上に $\overline{\mathfrak{n}}$ 下三角行列の $0$対角線上にあります。

あなたの例では $K_0$ スパン $\mathfrak{a}$、 $K_+$ スパン $\mathfrak{n}$ そして $K_-$ スパン $\overline{\mathfrak{n}}$

ここで関連する3つの事実があります。

1. すべて $G$ 製品として書くことができます $bac$ と $b \in \overline{N}$、 $a \in A$、 $c \in N$。（数値数学では、これはLDU分解と呼ばれます）

2. 指数写像は、からの地図として見たときに全射です。 $\mathfrak{a}$ に $A$、からの地図として表示した場合も $\mathfrak{n}$ に $N$ からの地図として見たときも $\overline{\mathfrak{n}}$ に $\overline{N}$。

これ（ステートメント2）は非常に特別です。なぜなら、指数写像は一般に、地図形式として見たときに全射ではないからです。$\mathfrak{g}$ に $G$。

1）と2）を組み合わせると、

すべて $g \in G$ 製品として書くことができます $\exp(X_1)\exp(X_2)\exp(X_3)$ と $X_1 \in \overline{\mathfrak{n}}$、 $X_2 \in \mathfrak{a}$ そして $X_3 \in \mathfrak{n}$。

特別な場合には $\overline{\mathfrak{n}}$、 $\mathfrak{a}$ そして $\mathfrak{n}$（あなたの例のように）一次元であるこれは、私たちが完了したことを意味します。フォームの要素だけでなく、あなたが尋ねたフォームの表現を取得します$\exp(X)$ と $X \in \mathfrak{g}$ただし、グループ内のすべての要素に対して。

高次元の場合、もっと何かが必要なようです。グループ要素を、固定基底要素のスカラー倍数の指数の積として表現したいのです。私が強調した結果を考慮して、それを示すとそれを得ることができます：

1. あなたの推測は、リー群の特別な場合に当てはまります $A$、 $N$ そして $\overline{N}$。

今のために $A$ これは本当に簡単です。 $A$ 可換です（$ab = ba$ すべてのために $a, b \in A$、そしてその後 $[X, Y] = 0$ すべてのために $X, Y \in \mathfrak{a}$）。

$\mathfrak{n}$ そして $\overline{\mathfrak{n}}$一般に可換ではありませんが、これらは私たちの目的に十分近いものです。冪零行列です。具体的には、2つの上三角行列のリーブラケットは、最初の対角線よりも「高い」対角線上にゼロ以外のエントリを持ちます。対角線の数は有限であるため、十分な長さのネストされた交換子はすべてゼロになり、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式には有限の数の項しかありません。次に、これを使用して、ステートメント3）と2）の両方を証明できます。$\mathfrak{n}$ そして $N$ 引数の鏡像は、の下部対角行列に対して機能します。 $\overline{\mathfrak{n}}$ そして $\overline{N}$。

したがって、残っているのは1）を検証することですが、これは本質的にガウスエリミネーションであり、2）が $\mathfrak{a}$ そして $A$ しかし、この最後のことは非常に些細なことです：エントリを持つ対角行列の指数 $a_1, \ldots, a_n$ エントリを含む単純な対角行列です $\exp(a_1), \ldots, \exp(a_n)$。

詳細はお任せしますが、ご不明な点がございましたらお知らせください。

ヴィンセントは、最初の質問に肯定的な答えがある理由を説明しました。答えが否定的な理由を説明します。より正確には、${\mathfrak g}= sl(2, {\mathbb R})\cong o(2,1)$ そして $G=PSL(2, {\mathbb R})\cong SO(2,1)_0$、指数写像が全射である場合、要素はたくさんあります $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ の基礎を形成する ${\mathfrak g}$、のすべての要素が $G$ フォームの製品として書くことができます $$ \exp(t_1 \xi_1) \exp(t_2 \xi_2) \exp(t_3 \xi_3). $$ （私は表記を使うのが好きではありません $g$ リー代数の要素には、文字を使用します $g$ リー群の要素を示します。）

1. と仮定する $\xi_1, \xi_2, \xi_3$あるコンパクトな要素リー代数のは、各サブグループを意味し、$G_k=\exp({\mathbb R}\xi_k)$ コンパクトで同型 $S^1=U(1)$。私はそれを仮定します$\xi_1, \xi_2, \xi_3$ リー代数の基底を形成するために選択されます ${\mathfrak g}$：これは、リー代数のコンパクト要素を一般的に選択する場合に当てはまります。

製品（位相空間として！） $$ M=G_1\times G_2\times G_3 $$コンパクトでもあります（3次元トーラスです）。したがって、リー群製品マップの下のこの製品の画像$$ (g_1,g_2,g_3)\in M \mapsto g_1 g_2 g_3\in G $$ コンパクトな画像 $C$。グループ以来$G$ 非常に非コンパクトであり、の多くの要素があります $G$ 製品として書くことはできません $$ g_1 g_2 g_3= \exp(t_1 \xi_1) \exp(t_2 \xi_2) \exp(t_3 \xi_3) $$ 実数に関係なく $t_1, t_2, t_3$です。同時に、以来$\xi_1, \xi_2, \xi_3$ リー代数にまたがる、すべての要素 $g\in G$ 次のように書くことができます $$ \exp(t_1 \xi_1 + t_2\xi_2 + t_3\xi_3) $$ 実数の適切な選択のため $t_1, t_2, t_3$。

1. この現象は、リー代数のコンパクト要素のトリプルに限定されるものではありません。少しジオメトリが必要になります。グループ$G= PSL(2, {\mathbb R})$ 上半平面での線形分数変換を介して作用します $$ U=\{(x, y): y> 0\}. $$ ネストされた丸いディスクを3つ取る $D_1, D_2, D_3$ x軸を中心に： $$ D_1\subset D_2\subset D_3 $$ （これらのディスクの中心が同じであるとは思いません！）これらのディスクの直径をx軸に示します $p_1q_1, p_2q_2, p_3q_3$ （ポイント $p_i, q_i$ の境界にある $D_i$）。今、サブグループ$G_i$ の $G$ 保存 $D_i$ と同型の1パラメータの非コンパクトサブグループです ${\mathbb R}$、 $\xi_i$ のリー代数の生成ベクトルを示します $G_i$、 $i=1, 2, 3$。次に、要素$\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 再びリー代数にまたがる ${\mathfrak g}$ディスクが一般的に選択されている場合。ただし、すべての要素が$g\in G$ 製品として書くことができます $$ g_1 g_2 g_3, $$ どこ $g_i\in G_i$、 $i=1, 2, 3$。その理由は$G$ に作用する $U$ 推移的：すべてのポイントは、次の要素によって他のポイントに移動できます。 $G$。ただし、上記の製品要素はいずれも、ポイントを外側に移動することはできません。$D_3$ 内側のポイントに $D_1$。（これは演習として残しておきます。）

編集します。すべての重要な1パラメーターサブグループ$\exp({\mathbb R}\xi)$ の $G=PSL(2, {\mathbb R})$ 3つのクラスに分類されます：楕円形（コンパクト、同等に、 $\xi$ は、非対称行列に共役です）、放物線（同等に、 $\det(\xi)=0$）、双曲線（$\xi$対称行列に共役です）。放物線の場合はジェネリックではありません。以下でどのトリプルについて説明します。$G_1, G_2, G_3$ の楕円/双曲線1パラメータサブグループの $G$ 満足させる $G=G_1 G_2 G_3$。

1. EHEケース（$G_1, G_3$ 楕円形で、 $G_2$双曲線です）。次に$G=G_1 G_2 G_3$ の要素が $G_2$ コンジュゲート $G_1$ に $G_3$。（のカルタン分解$G$、 $G=KAK$、が標準的な例です。）

2. HEHケース（$G_1, G_3$ 双曲線です、 $G_2$楕円形です）。次に$G=G_1 G_2 G_3$ サブグループの場合のみ $G_1, G_3$ 次の意味での「クロス」：各双曲線1パラメーターサブグループ $H$ 固有の不変双曲測地線があります $\alpha_H$ 上半平面で $U$ （各双曲線測地線は、 $U$または、x軸を中心とする半円）。次に$G_1$ そして $G_3$ 「クロス」とは、それらの軸を意味します $\alpha_{G_1}, \alpha_{G_3}$ で一点で交差する $U$。このHEH分解は私には少し驚きましたが、そのような分解には名前がないと思います（ただし、非リーマン対称空間に対応するため、特殊なケースは確実に知られています）。

他のすべての一般的なケースでは $G\ne G_1 G_2 G_3$。これの証拠は、私が省略した固定小数点を含む少し退屈なケースバイケースの分析です。（リー群に関する文献が膨大であることを考えると、おそらくこの結果は知られています。）の例$K_0, K_\pm$ あなたの質問では非ジェネリックです：部分代数 $K_\pm$ 放物線状の1パラメータサブグループに対応します。

これを考えると、平等についての質問は私には明らかです $$ G= \prod_{i=1}^n \exp({\mathbb R} \xi_i) $$ 一般的なリー群（全射指数写像を含む）やリー代数の要素の一般的なタプルでさえ、良い答えはありません。