作用素論の言語での特異値分解

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0xbadf00d 2020-05-13 07:37.

しましょう $H_i$ である $\mathbb R$-ヒルベルト空間、 $A\in\mathfrak L(H_1,H_2)$ コンパクトに、 $|A|:=\sqrt{A^\ast A}$ そして $\sigma\in\mathbb R$

の特異値分解をどのように説明しますか $A$作用素論の言葉で?(仮定$\dim H_i\in\mathbb N$、 必要であれば。)

用語を修正するには、次のように言います $\sigma>0$特異値です$A$ もし $\sigma$ の固有値は $|A|$、すなわち $\mathcal N(\sigma-|A|)\ne\{0\}$。この定義は、あるという主張と同等です$x_i\in H_i$$\left\|x_i\right\|_{H_i}=1$ そして $$Ax_1\sigma x_2\text{ and }A^\ast x_2=\sigma x_1\tag1.$$

クーラント-レイリーミニマックス原理により、の特異値を列挙することができます。$A$増加しない順序で。だから、$\sigma_i(A)$ を示す $i$のth番目に大きい特異値 $A$ にとって $i\in\mathbb N$。(ある場合のみ$k$ 異なる特異値、 $\sigma_i(A)=0$ すべてのために $i>k$。)

ここで、コンパクトな自己随伴作用素のスペクトル定理の一部を模倣することができます。 \begin{align}E_i&:=\mathcal N(\sigma_i(A)-|A|),\\d_i&:=\dim E_i\end{align} そして $\left(e^{(i)}_1,\ldots,e^{(i)}_{d_i}\right)$ の正規直交基底である $E_i$ にとって $i\in\mathbb N$ そして \begin{align}(\sigma_i)_{i\in\mathbb N}:=(\underbrace{\sigma_1(A),\ldots,\sigma_1(A)}_{=:\:d_1\text{ times}},\underbrace{\sigma_2(A),\ldots,\sigma_2(A)}_{=:\:d_2\text{ times}},\ldots),\\(e_i)_{i\in\mathbb N}:=\left(e^{(1)}_1,\ldots,e^{(1)}_{d_1},e^{(2)}_1,\ldots,e^{(2)}_{d_2},\ldots\right).\end{align} 次に $(e_i)_{i\in\mathbb N}$ の正規直交基底です $\mathcal N(A)^\perp$ (以来 $\mathcal N(A)=\mathcal N(|A|)$)および $$|A|x_1=\sum_{i\in\mathbb N}\sigma_i\langle x_1,e_i\rangle_{H_1}e_i\tag2.$$

どのように進める必要がありますか?そして、これは極分解とどのように関連していますか$^1$$A$


$^1$ 独自の部分等長作用素があります $U$ から $H_1$$H_2$$\mathcal N(U)=\mathcal N(A)$ そして $A=U|A|$

1 answers

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Martin Argerami 2020-05-13 18:06.

特異値分解は、スペクトル定理とともに極分解から得られます。

極分解はあなたに $A=V|A|$、 どこ $V$ は次のような部分等長作用素です $\operatorname{ran}V^*V=\overline{\operatorname{ran}A^*}$、および $|A|=(A^*A)^{1/2}$。以来$|A|\in B(H_1)$ ポジティブでコンパクトな場合は、スペクトル定理を適用して次のようにします。 $$\tag1 |A|=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j\,P_j, $$ どこ $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq0$ そしてそれぞれ $P_j$ランク1の予測です。書き直すことができます$(1)$ なので $$\tag2 |A|=U^*DU, $$ どこ $U$ はユニタリであり、は対角を持つ対角演算子(標準基底では)です。 $\sigma_1,\sigma_2,\ldots$

次に $$\tag3 A=VU^*DU=WDU $$ どこ $D$ 上記のとおり、 $W$ は部分等長作用素であり、 $U$ 単一です。

これを書くためのより便利な方法は、単位ベクトルを選択することです。 $e_j$$P_je_j=e_j$ (したがって、それらはの範囲の正規直交基底を形成します $|A|$) そして書く $(1)$ なので $$\tag4 |A|=\sum_{k=1}^\infty\sigma_k\,\langle\cdot,e_k\rangle \,e_k. $$ 次に $$\tag5 A=V|A|=\sum_{k=1}^\infty\sigma_k\,\langle\cdot,e_k\rangle \,Ve_k. $$ なので $V$ の等長写像です $\operatorname{ran}|A|$、わかります $\{Ve_k\}$正規直交です。したがって、特異値分解は次のように言い換えることができます

場合 $A\in L(H_1,H_2)$ コンパクトで正規直交ファミリーが存在します $\{e_k\}\subset H_1$ そして $\{f_k\}\subset H_2$ そのような $$\tag6 A=\sum_{k=1}^\infty\sigma_k\,\langle\cdot,e_k\rangle \,f_k. $$

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