浅水方程式の初期値問題の解決に役立ちますか?

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James 2020-05-10 05:31.

質問は次のとおりです。

「線形化された浅水方程式の初期値問題(IVP)を検討してください

(1) $\frac{\partial h}{\partial t} + H_0 \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ ;

(2) $\frac{\partial u}{\partial t} + g \frac{\partial h}{\partial x} = 0$

初期条件で $h(x,0)=h_0$ ; $u(x,0)=0$; ために $-\infty<x<\infty$

機能を指定する $h_0(x)$IVPに対応するソリューションを見つけます。「」

今、私はこれを最大限に試みましたが、このトピックは、現在の状況のた​​めに正式に教えられなかったものでした。つまり、私の知識は、線形化された方程式がどのように生成されるかを示すだけの一連のタイプされたメモから完全に得られます。それらがどのように解決されるかではありません。

最初に、微分方程式(2)がwrtであることに気づきました。 $t$ 次に、式をに置き換えます $\frac{\partial h}{\partial t}$ 波動方程式の形で与えて表現します: $u_{tt}-c^2u_{xx}=0$ どこ $c^2=gH_0$

式(1)wrtについても同じことができます。 $x$ 波動方程式を与えるには: $h_{tt}-c^2h_{xx}=0$ どこ $c^2=gH_0$

解が次の形式であると仮定して波動方程式を解く方法の例を見つけました $u(x,t)=p(x-ct)+q(x+ct)$ 初期条件が与えられたとき $u(x,0)=u_0(x)$ そして $u'(x,0)=a_0(x)$ でもどうやってやるのかわからない $u(x,0)$ そして $h(x,0)$ 提供されますか?

ヒントをいただければ幸いです。

編集:それ以来、あなたはそれを推測できることがわかりました $h_t(x,0)=0$ とすれば $u(x,0)=0$。誰かがこれを確認できますか?

1 answers

3
mattos 2020-05-10 16:19.

偏微分方程式を微分する際の問題は、関数がどの程度微分可能であるか、つまり関数が微分可能かどうかをアプリオリに知らないことです。$C^{1}, C^{2}$解決策が十分に規則的であると仮定すれば、問題はありません(そして、これが学部のクラスの場合、これはおそらく仮定されます)。ただし、これらの規則性の問題を回避するには、https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics。マトリックス形式でのあなたの問題は

\ begin {align} \ begin {pmatrix} h \\ u \ end {pmatrix} _ {t}&= \ begin {pmatrix} 0&-H_ {0} \\ --g&0 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} h \\ u \ end {pmatrix} _ {x} \\ \ implies \ pmb {h} _ {t}&= M \ pmb {h} _ {x} \ end {align}

の固有値と固有ベクトルの計算 $M$ 対角化することができます $M$ なので $M = P D P^{-1}$、 どこ

\ begin {align} P&= \ begin {pmatrix} \ sqrt {H_ {0} / g}&-\ sqrt {H_ {0} / g} \\ 1&1 \ end {pmatrix} \\\\ \ P ^ {-1}&= \ frac {1} {2 \ sqrt {H_ {0} / g}} \ begin {pmatrix} 1&\ sqrt {H_ {0} / g} \\ -1&\を意味しますsqrt {H_ {0} / g} \ end {pmatrix} \\\\ D&= \ begin {pmatrix} \ sqrt {g H_ {0}}&0 \\ 0&-\ sqrt {g H_ {0} } \ end {pmatrix} \ end {align}

したがって、方程式セットは次のようになります。

$$\pmb{h}_{t} = P D P^{-1} \pmb{h}_{x}$$

両側に乗算する $P^{-1}$ と設定 $P^{-1} \pmb{h} = \pmb{v} = (v_{1}, v_{2})^{T}$ システムを生成します

$$\pmb{v}_{t} = D \pmb{v}_{x}$$

直接解ける

\ begin {align} v_ {1}&= f_ {1}(x + \ sqrt {g H_ {0}} t)\\ v_ {2}&= f_ {2}(x- \ sqrt {g H_ { 0}} t)\ end {align}

$f_{1}, f_{2}$任意の微分可能関数。関係を逆転させる$P^{-1} \pmb{h} = \pmb{v} \implies \pmb{h} = P \pmb{v}$ 元の問題の一般的な解決策が得られます

\ begin {align} h&= \ sqrt {H_ {0} / g} v_ {1}-\ sqrt {H_ {0} / g} v_ {2} \\ u&= v_ {1} + v_ {2 } \ end {align}

その後、初期条件を適用できます。

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