凸関数の証明は有界変動です

3
Nina 2020-05-04 07:17.

しましょう $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 凸関数である、ここで $I$閉区間を示します。場合$f$ 凸である、どうすればそれを証明できますか $f$ 有界変動ですか?

2 answers

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Jonathan Hole 2020-05-04 07:43.

凸面では存在できません $a<b<c \in I$ そのような $f(a)<f(b)$ そして $f(c)\leq f(b)$(絵を描く)。だからもし$a_0<a_1<\ldots <a_n$ のパーティションです $I$ 私たちは持っていることから始めるかもしれません $f(a_0)>f(a_1)$、しかし私たちが持っている瞬間 $k$ そのような $f(a_k)<f(a_{k+1})$ 私たちは持っている必要があります $f(a_i)<f(a_{i+1})$ すべてのために $i\geq k$。次に$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} |f(a_{i+1})-f(a_i)|=\sum\limits_{i=0}^{k-1} f(a_i)-f(a_{i+1})+ \sum\limits_{i=k}^{n-1} f(a_{i+1})-f(a_i)=f(a_0)-2f(a_k)+f(a_n),$$

だから私たちはそれを示す必要があるだけです $f$ 閉区間に制限されています $I$完了します。このために、$I=[x, z]$ そしてしましょう $y$ 厳密にその中間の任意のポイントである $x$ そして $z$。しましょう$f_1$ ポイントの線形補間である $(x,f(x))$ そして $(y, f(y))$、そして $f_2$ ポイントの線形補間である $(y, f(y))$ そして $(z, f(z))$。その後、$a\in [x,y]$$f_2(a)\leq f(a) \leq f_1(a)$ とのために $a\in [y,z]$$f_1(a)\leq f(a) \leq f_2(a)$、 そう $f$ に制限されています $I$

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Martin R 2020-11-28 03:05.

ジョナサンの答えの小さなバリエーション(!) $f: [a, b] \to \Bbb R$凸状になります。しましょう $$ c = \sup \{ x \in [a, b] \mid \text{$f$ is decreasing on $[a、x]$} \} \, . $$ 次に $f$ 減少しています $[a, c]$ と増加します $[c, b]$、 したがって $$ V_a^b(f) = V_a^c(f) + V_c^b(f) = (f(a)-f(c)) + (f(b) - f(c)) = f(a) - 2f(c) + f(b) < \infty \, . $$

言い換えると、凸関数は区分的単調であり、したがってコンパクト間隔での有界変動です。

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