サークルメトリックのプロパティ $d(x,y) := \inf_{k\in\mathbb{Z}} |x-y+k|$ オン $[0,1[$。

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JanBakfiets1 2020-05-03 04:23.

寄付すれば $[0,1[$ メトリックで $$d(x,y) := \inf_{k\in\mathbb{Z}} |x-y+k|,$$ その後 $[0,1[$ 同相である $S^{1}$。固定の場合$N\in\mathbb{N}$ 地図を検討します $$f\colon [0,1[\rightarrow [0,1[, \qquad f(x):= Nx - \lfloor Nx\rfloor = Nx \mod 1.$$ 与えられた整数 $n\in\mathbb{N}$ 長さの軌道セグメントを比較できます $n$ メトリックで $$d_{n}(x,y) := \max_{0\leq j\leq n-1}d(f^{j}(x),f^{j}(y)).$$ 私はそれを証明したい $d_{n}(x,y)<1/N$、その後 $d_{n}(x,y) = N^{n-1}|x-y|$

それを証明するのは難しいことではありません $d_{n}(x,y)\leq N^{n-1}d(x,y)\leq N^{n-1}|x-y|$、という仮定がなくても $d_{n}(x,y)<1/N$。他の不等式に関する提案(すなわち$d_{n}(x,y) \geq N^{n-1}|x-y|$)大歓迎です。前もって感謝します!

1 answers

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Mad Max 2020-05-04 14:49.

距離 $d$ あなたが説明するのは2点の距離です $x$$y$ 彼らがいると想像すれば $\mathcal{S}^1$。場合$d(x,y)<1/N$ そうすれば簡単にわかります $d(f(x),f(y))=Nd(x,y)$ (点が単位円上の複素数であると想像すると、関数は $f$ 単に引数を乗算します $N$)。今の状態$$d_n(x,y)<1/N,$$ いくつかのための $n\in\mathbb{N}$、 ことを意味します $d(f^i(x),f^i(y))<1/N,$ すべてのために $ i\leq n-1$。したがって、$$d(f^i(x),f^i(y))=Nd\left(f^{i-1}(x),f^{i-1}(y)\right)=N^i d(x,y), \text{for all}\hspace{1mm} 1\leq i\leq n-1.$$ 明らかに、これらの中で最大の数は $$d\left(f^{n-1}(x),f^{n-1}(y)\right)=N^{n-1}d(x,y)=N^{n-1}|x-y|,$$ 最後の平等が成り立つ場所 $d(x,y)$小さいです。したがって、$d_n(x,y)=N^{n-1}|x-y|$

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