放物線は、線によって形成される角度の二等分線に接触します $x+2y+3=0$ そして $2x+y+3=0$ で $(1,1)$ そして $(0,-2)$。その焦点と母線を見つけます。

3
Samar Imam Zaidi 2020-05-01 01:44.

放物線は、線によって得られる角度の二等分線に接触します $x+2y+3=0$ そして $2x+y+3=0$ ポイントで $(1,1)$ そして $(0,-2)$。次に、その焦点と母線の方程式を見つけます。

私のアプローチは次のとおりです。

二等分線の方程式は $$\frac{x+2y+3}{\sqrt{5}}= \pm \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}$$

必要な二等分線を次のように取得します $x-y=0$ そして $3x+3y+6=0$、または $x+y+2=0$

$x-y=0$ で放物線に接しています $(1,1)$、一方、 $x+y+2=0$ で放物線に接しています $(0,-2)$

ここから、どうすればいいですか?

2 answers

2
Intelligenti pauca 2020-05-01 04:18.

与えられたポイント $A=(1,1)$$B=(0,-2)$$T=(-1,-1)$ (接線の交点です)、放物線が接触します $AT$$A$ そして $BT$$B$ 放物線のこのプロパティを使用して構築できます(証明については、下部の編集2を参照してください)。

任意の2つの接線間の外角は、接線のいずれかのセグメントが焦点でなす角に等しくなります。

次に、に接する円を作成します $AT$$T$ 通過する $B$、その弧は内側にあります $\angle ATB$ は点の軌跡です $BT$外角に等しい角度をなす角。同様に、に接する円を作成します$BT$$T$ 通過する $A$:それらの円の交点、 $T$、焦点です $F$ (下の図を参照)。

最後に、母線を作成するために、たとえば中点を見つけることができます $M$$AB$ その後、中点 $P$$TM$、その後 $P$ は放物線上の点であり、準線はに垂直な線です。 $TM$ と交差する $PT$ からの距離で $P$ に等しい $PF$

編集。

この特定のケースでは、接線があるため、状況はさらに単純になります。 $AT$ そして $BT$ 垂直である:これは、母線が通過することを意味します $T$ そして、上記の線TMに垂直ですが、 $AB$ フォーカルコードです(https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaLambert.shtml)。直接母線が見つかったら、ポイントから$A$ そして $B$ 焦点を見つけるのは簡単です $F$

編集2。

冒頭で述べた特性の証明を与えることは役に立つかもしれません。それでは$F$ 放物線の焦点になり、 $A$$B$ その上の任意の2つのポイント、 $H$$K$ 準線への投影、 $T$ 放物線に接する線の交点 $A$ そして $B$ (下の図を参照)。

なので $AF=AH$ そして $AT$ 二等分 $\angle FAH$、その後 $AT$ の垂直二等分線です $FH$ そして $HT=FT$。同様に、$FT=KT$ そして $H$$F$$T$ を中心とする同じ円に属する $T$

だが $\alpha=\angle FAT=\angle HAT=\angle FHK$ (同じ角度の補完)と $\angle FHK=\angle FTB$ (同じ弧を描く円周角と中心角の半分)、したがって $\angle FAT=\angle FTB=\alpha$。同様に、$\angle FBT=\angle FTA=\beta$ そして: $$ \angle AFT=\angle BFT=\pi-\alpha-\beta = \text{external angle formed by tangents $AT$ and $BT$.} $$

0
Maverick 2020-12-06 05:35.

放物線の基本方程式から導き出された以下の特性を使用しました。

(i)MはABの中点です。接線の交点を接触弦の中点に結ぶ線は、放物線の軸に平行であるか、母線に垂直です。

(ii)垂直な接線は母線上で交差し、接線の接触点は焦点弦の端です。

(iii)接触点と母線の間の接線の部分は、常に焦点で直角になります。

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