$ \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}{C_n}\subset \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{C_m} $

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Made 2020-04-24 14:48.

しましょう $X$ 分離可能なバナッハ空間であり、 $ w$ 弱いトポロジーを示します $X$

しましょう $\mathcal{P}_{wkc}(X)$ すべての空でないコレクションになります $w$-のコンパクトな凸型サブセット $X$

しましょう $\{C_n\}$ のシーケンスである $\mathcal{P}_{wkc}(X)$。次に: $$ \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}{C_n}\subset \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{C_m} $$

と: $\overline{\text{co}}(A)=\overline{\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}:n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A,\,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}= 1\right\}}.$

証明:

すべてのための $p \geq 1$ $$ \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}+\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\qquad (*) $$ 右側が閉じているのは $\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}$ です $w$-コンパクト。すべての交差点を取ると$p$ したがって、 $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}+\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg) $$ 次の補題によって:

しましょう $\{C_n\}$ からなる $w$-コンパクトで $\{D_n\}$$w$-の閉じたサブセット $X$。と仮定する$\{C_n\}$ そして $\{D_n\}$ どちらも増加していません。次に: $$\cap_{n}{ (C_n + D_n)} = \cap_{n}{C_n} + \cap_{n}{D_n}.$$

これは与える $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)+\cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg)\qquad (**) $$

それを確認するのは簡単です $\cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)$ 実際にはと同じです $\text{co}\big(\{0\}\cup \frac{1}{p}C_1\big)$ (ご了承ください $\{0\}\cup \frac{1}{p}C_1$、 であること $w$-コンパクトで、凸包もあります $w$-コンパクト)。したがって、すぐに次のようになります$\cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)$ に等しい $\{0\}$、の有界性を考慮して $C_1$。での置換$(**)$ 与える $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg)\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\overline{\text{co}}\cup_{n=2}^{m}{C_n}\big)}\bigg) $$ これは $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{n\geq 2}{C_n}\bigg)=\overline{\text{co}}\cup_{n\geq 2}{C_n} $$ これで、誘導によって証明が簡単に完了します。

私の問題:なぜ私たちは$(*)$

1 answers

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Alex Ravsky 2020-05-04 07:44.

バナッハ空間の凸集合の閉包は凸であるため、右側 $R$ の($*$)は凸です。閉まっているので見せて($*$)それはそれを指摘することで十分です $R$ セットが含まれています $\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}$ それぞれについて $m\ge p$

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