可解群の商が可解であるという証明に関する簡単な質問。

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Leo 2020-04-19 07:52.

しましょう $G$ 溶けるように $$1=G_0\lhd G_1\lhd \ldots \lhd G_n=G$$ どこ $G_{i+1}/G_i$アーベルです。さあ、$N$ の通常のサブグループである $G$。標準の証明では、それを示す必要があります $$N/N=G_0N/N\lhd G_1N/N\lhd \ldots \lhd G_rN/N=G/N$$

特に、それ $G_iN\lhd G_{i+1}N$そして、私が立ち往生しているのはここです。助けていただければ幸いです。


編集:私は以下で十分だと思います。貸します$g\in G_{i+1}$ そして $n\in N$ 我々は持っています

$$gnG_iN=gnG_iNn=gnNG_in=gNG_in=NgG_in=NG_ign=G_iNgn$$

1 answers

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Nicky Hekster 2020-04-19 08:14.

ヒント: $G_{i+1}N/G_iN \cong G_{i+1}/(G_iN \cap G_{i+1})$ 後者はアーベル群の商です $G_{i+1}/G_i$

これをもう少し正確にしましょう。私はあなたがそれを知っていると思います$H \leq G$$N \unlhd G$、その後 $HN$ のサブグループです $G$ そして実際には $HN=NH$。さらに、あなたが精通していることhttps://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems

補題レット$H,K \leq G$$H \unlhd K$ そしてしましょう $N \unlhd G$ その後、次のホールド。
$(a)$ $HN \unlhd KN$
$(b)$ $KN/HN$ の商です $K/H$
$(c)$ 場合 $G$ 有限です、 $|KN:HN|$ 分水界 $|K:H|$ 平等で $K \cap N \subseteq H$

証明(a)$h \in H, k \in K, m, n \in N$、それを示す必要があります $(hm)^{kn} \in HN$。今それを観察します $$(hm)^{kn}=n^{-1}k^{-1}hmkn=n^{-1}(k^{-1}hk)(k^{-1}mk)n=(k^{-1}hk)(k^{-1}h^{-1}k)n^{-1}(k^{-1}hk)(k^{-1}mk)n=h^k(n^{-1})^{k^{-1}hk}m^kn \in HN.$$
(b) $KN/HN \cong K/(K \cap HN)$。ご了承ください$H \subseteq K \cap HN$。そう$K/(K \cap HN) \cong (K/H)/((K \cap HN)/H)$ これはの商です $K/H$
(c)(b)から、次のようになります。$|KN:HN| \mid |K:H|$ そして、私たちが平等であるのは、 $K \cap HN=H$。しかし、デデキントのモジュラー法則により、$K \cap HN=H(K \cap N)$。したがって、(c)が続きます。ご了承ください$K \cap N \subseteq H$ と同等です $K \cap N=H \cap N$

当然の結果レッツ$H,K \leq G$$H \unlhd K$ そしてしましょう $N \unlhd G$ その後、 $K/H \in \{abelian, nilpotent, solvable, \pi-group\}$、その後 $KN/HN \in \{abelian, nilpotent, solvable, \pi-group\}.$

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